Obtenha os gráficos de f que revelem todos os aspectos importantes da curva. Em particular, você deve usar os gráficos de f' e f'' para estimar os intervalos de crescimento e decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão.

4*x^4 - 32*x^3 + 89*x^2 - 95*x + 29

Passo 1

Fala meu querido!

Nessa questão temos a seguinte função:

f x = 4 x 4 - 32 x 3 + 89 x 2 - 95 x + 29

E a partir dos gráficos de f , f ' e f ' ' estimar os intervalos de crescimento, decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão.

O gráfico da derivada f ' , nos indica o crescimento da função de forma que:

f ' > 0

Indica que a f cresce e

f ' < 0

Indica que a f decresce.

f ' = 0 indica que a função pode ter um valor extremo de forma que se a função crescia e depois decresce, esse ponto representa um máximo e se a função decrescia e depois cresce, esse ponto representa um mínimo.

O gráfico da segunda derivada f ' ' , nos indica a concavidade da função de forma que:

f ' ' > 0

Indica que a f tem concavidade para cima e

f ' ' < 0

Indica que a f tem concavidade para baixo.

f ' ' = 0 indica que a função possui um ponto de inflexão desde que nesse ponto a segunda derivada troque de sinal.

Para fazer essa questão vamos encontrar a derivada primeira e segunda dessa função e então plotar esses gráficos.

Passo 2

Nossa função f é

4 x 4 - 32 x 3 + 89 x 2 - 95 x + 29

Seu gráfico é:

Sua derivada é:

f ' x = 16 x 3 - 96 x 2 + 178 x - 95

O gráfico da derivada é:

A segunda derivada é:

f ' ' x = 48 x 2 - 192 x + 178

O gráfico da segunda derivada é:

Passo 3

Fazendo as estimativas, temos que: f ' < 0 e que f é decrescente em ( - ∞ ,   0.92 ) e ( 2.5 ,   2.52 ) , e para f ' > 0 e f é crescente em 0.92 ,   2.5 e ( 2.58 ,   ∞ ) com mínimo local em x = 0,92   e x = 2.58 e máximo local em x = 2.5 .

Para o gráfico de f ' ' , estimamos que para f ' ' > 0 , f   tem concavidade para cima em ( - ∞ ,     1.46 ) e ( 2.54 , ∞ ) . Para f ' ' < 0 , f   tem concavidade para baixo em ( 1.46 ,   2.54 ) .

Os pontos de inflexão são localizados em x = 1,46 e em x = 2,54 .

Finish!!

Resposta

Fazendo as estimativas, temos que: f ' < 0 e que f é decrescente em ( - ∞ ,   0.92 ) e ( 2.5 ,   2.52 ) , e para f ' > 0 e f é crescente em 0.92 ,   2.5 e ( 2.58 ,   ∞ ) com mínimo local em x = 0,92   e x = 2.58 e máximo local em x = 2.5 .

Para o gráfico de f ' ' , estimamos que para f ' ' > 0 , f   tem concavidade para cima em ( - ∞ ,     1.46 ) e ( 2.54 , ∞ ) . Para f ' ' < 0 , f   tem concavidade para baixo em ( 1.46 ,   2.54 ) .

Os pontos de inflexão são localizados em x = 1,46 e em x = 2,54 .

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