Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.6 - Ex. 3
Obtenha os gráficos de que revelem todos os aspectos importantes da curva. Em particular, você deve usar os gráficos de e para estimar os intervalos de crescimento e decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão dá pra gente a curva
E pede pra gente fazer seu gráfico de que revele todos os seus aspectos importantes.
Para isso devemos usar os gráficos de e para estimar os intervalos de crescimento e decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão da função .
Então a ideia aqui é a gente relembrar o que cada uma dessas derivadas pode nos trazer de informações, assim poderemos traçar o gráfico de com todas as características necessárias.
Então vamos lembrar o que cada derivada conta pra gente.
A derivada de uma função é entendida como a inclinação da reta tangente a curva do gráfico da função.
Sabendo disso, podemos pensar que quanto mais positiva a derivada estiver, mais rapidamente a função original estará crescendo.
Assim:
Já a derivada de segunda ordem é a inclinação da reta tangente ao gráfico da primeira derivada e ela nos trará informações sobre o sentido da concavidade.
Assim:
O ponto de inflexão acontece onde a derivada de segunda ordem for igual a zero. Assim:
Agora que já sabemos de tudo isso, bora resolver essa questão.
Para resolvermos este problema, é ideal que façamos primeiramente as derivações necessárias e encontremos os pontos de interseção com o eixo para em seguida, esboçarmos os gráficos, okay?
Passo 2
Para resolvermos este problema, é ideal que façamos primeiramente as derivações necessárias e encontremos os pontos de interseção com o eixo para em seguida, esboçarmos os gráficos, okay?
Fazendo a derivada primeira:
Usando a regra da cadeia, teremos:
E usando a regra do quociente, ficamos com:
Passo 3
Agora vamos usar um programa computacional para desenharmos os gráficos de , e são, respectivamente:
Passo 4
Fazendo as estimativas, temos que: Para o gráfico , nós estimamos que:
é crescente em , decrescente em ; sem máximo local e com mínimo local em .
Com
Veja que:
Para o gráfico de , estimamos que tem concavidade para cima em . E, tem concavidade para baixo em e .
Já que
Os pontos de inflexão são localizados em e .
E finish!!
Resposta
é crescente em , decrescente em ;
sem máximo local e com mínimo local em .
tem concavidade para cima em .
E, tem concavidade para baixo em e .
Os pontos de inflexão são localizados em e .