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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.3 - Ex. 57

Estime os intervalos de concavidade com precisão de uma casa decimal usando um sistema de computação algébrica para calcular e fazer o gráfico de f ' ' .

f x = x 3 - 10 x + 5 x 2 + 4

Passo 1

Oi meus queridos.

Nessa questão, temos a seguinte função:

f x = x 3 - 10 x + 5 x 2 + 4

E aqui podemos usar um sistema de computação algébrica para calcular e fazer o gráfico de f ' ' x .

Também vamos encontrar os intervalos de concavidade. Para isso, vamos analisar o sinal da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, eu vou encontrar a primeira derivada, usando um programa de computação, temos que:

f ' x = 2 x 4 + 12 x 2 - 5 x - 40 x 2 + 4 3 / 2

Por meio de um sistema computacional, temos o gráfico de f ' (a derivada primeira de f ):

Agora vou derivar novamente e obter a segunda derivada:

f ' ' x = 2 x 5 + 10 x 3 + 5 x 2 + 108 x - 10 x 2 + 4 5 / 2

E a derivada segunda, ou gráfico de f ' ' :

Passo 3

Se quando a derivada segunda de uma função é positiva, a concavidade é voltada para cima; e negativa a concavidade é voltada para baixo. Então a concavidade é para cima em ( 0,1 ,     ∞ ) e para baixo em ( - ∞ ,     0,1 ) .

Resposta

A concavidade é para cima em ( 0,1 ,   ∞ ) e para baixo em ( - ∞ ,   0,1 ) .

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