Enunciado

46-Seja f a função cujo gráfico está mostrado no Exercício 2. Para cada intervalo, determine (i) se está satisfeita a hipótese do Teorema do Valor Intermediário e (ii) se está satisfeita a conclusão desse mesmo teorema.

a) [ 1,2 ]

b) [ 2,3 ]

c) [ 1,3 ]

Passo 1

Genteee, a primeira coisa que nós temos que fazer é lembrar a hipótese e a conclusão do Teorema do Valor Intermediário.

Hipótese: f tem que ser uma função contínua em um intervalo fechado e k um número entre f ( a ) e f ( b ) .

Conclusão: Existe no mínimo um x no intervalo [ a ,   b ] , tal que f x = k .

Agora, precisamos de uma coisa fundamental para resolvermos a questão, o gráfico do exercício 2 né ?!

Pronto, já temos todas as ferramentas para fazermos a questão, então vamos lá !

Passo 2

a)Galera, como temos uma bolinha aberta no 2, isso quer dizer que a função não é contínua no 2, portanto a hipótese do teorema não é satisfeita. No entanto, nós temos um valor para x = 2 , então a conclusão é satisfeita. Eu acho que fica mais claro se nós pensarmos na função como algo assim:

f x = a x 2 + b x ,   x   ϵ   1,2   U   ( 2,3 ] c ,   x = 2

Sacou ??? A função de fato não é contínua para x = 2 , mas ela tem um valor definido nesse ponto, o que faz com que a hipótese não seja satisfeita mas a conclusão sim.

Passo 3

b) Galera, como temos uma bolinha aberta no 2, isso quer dizer que a função não é contínua no intervalo fechado [ 2,3 ] , portanto a hipótese do teorema não é satisfeita. No entanto, nós temos um valor para x = 2 , então a conclusão é satisfeita.

Passo 4

c) Galera, como temos uma bolinha aberta no 2, isso quer dizer que a função não é contínua no intervalo fechado [ 1,3 ] , portanto a hipótese do teorema não é satisfeita. No entanto, nós temos um valor para x = 2 , então a conclusão é satisfeita.

Amiguíneos, vocês podem estar pensando: Nossa que questão tosca, para todos os itens a hipótese não foi satisfeita e a conclusão. Caraaa, mas eu já vou te falando que esse exercício chama atenção para algo impontante, então, atenção:

Olha só, você podia ler esse teorema muito rapidamente,em um dia de Sol à beira da piscina (onde, talvez, todos nós quiséssemos estar agora hahahh), e pensar que se a hipótese do teorema não fosse satisfeita a conclusão, automaticamente, não seria. No nosso caso, se a hipótese do teorema for atendida a conclusão automaticamente vai ser atendida, mas se isso não ocorrer nada impede que a conclusão seja satisfeita, sacou a diferença ??? Ainda podemos falar mais, se o f ( 2 ) não estivesse definido a conclusão do teorema para o intervalo [ 1,3 ] não seria satisfeita.

Resposta

a)Satisfaz a conclusão, mas não a hipótese.

b) Satisfaz a conclusão, mas não a hipótese.

c) Satisfaz a conclusão, mas não a hipótese.

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