Sejam a ∈ R e f : R → R uma função definida no ponto a . Se lim x → a ⁡ f x - f a x - a = m , prove que f é contínua no ponto a .

Passo 1

Vamos lá, para que a função f seja contínua no ponto a devemos ter que lim x → a ⁡ f x exista e que:

lim x → a ⁡ f x = f a

Vamos manipular um pouco esse limite:

lim x → a ⁡ f x = f a → lim x → a ⁡ f x - f a = 0

Passo 2

Agora vamos multiplicar e dividir a expressão do limite por x - a :

lim x → a ⁡ f x - f a = 0 → lim x → a ⁡ f x - f a x - a ⋅ x - a = 0 → lim x → a ⁡ f x - f a x - a ⋅ lim x → a ⁡ x - a = 0

Pelo enunciado temos que:

lim x → a ⁡ f x - f a x - a = m

Agora é só substituir:

lim x → a ⁡ f x - f a x - a ⋅ lim x → a ⁡ x - a = 0 → m ⋅ a - a = 0 → m ⋅ 0 = 0 → 0 = 0

Pronto, provamos que f é contínua no ponto a .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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