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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.7 - Ex. 10

Um tanque de óleo tem a forma de um cilindro circular reto com 4 m de diâmetro e seu eixo é horizontal. Se o tanque estiver cheio até a metade com óleo cuja densidade volumétrica de massa é 750 kg/ m 3 , ache a força total num extremo, devido à pressão do líquido.

Passo 1

Se temos uma face submersa verticalmente em um líquido de densidade ρ , e o comprimento da face a uma profundidade de x unidades puder ser representado por uma função f ( x ) , contínua e positiva no intervalo [ a ,   b ] , então a força causada pela pressão líquida em um lado da placa é:

F = ρ g ∫ a b x f x d x   N

Porém, para alguns casos específicos, F pode ser calculado da seguinte maneira:

F = ρ g ∫ a b x f x d x   N = ρ g x - A

Onde x - = ∫ a b x f x d x b - a é a profundidade x do centroide da área da face que tem contato com a água e A é a área dessa região.

Passo 2

Colocamos a origem do eixo x no centro do círculo e apontada para baixo. A altura do centroide de um semicírculo a partir da base é 4 r 3 π , então no nosso caso temos x - = 4 ⋅ 2 3 π = 8 3 π   m. A área do semicírculo é dada por A = π ⋅ 2 2 2 = 2 π . Então, pela fórmula:

F = ρ g ⋅ 8 3 π ⋅ 2 π = 16 3 ρ g

Para ρ = 750   k g / m 3 e g = 9,81   m / s 2 :

F = 39240   N

Resposta

F = 39240   N

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