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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.7 - Ex. 7

A face da comporta de uma barragem tem a forma de um triângulo isósceles com 4 m de largura no topo e 3 m de altura. Se a parte superior da comporta está 15 m abaixo da superfície da água, ache a força total devido à pressão da água sobre a comporta.

Passo 1

Se temos uma face plana submersa verticalmente em um líquido de densidade ρ , e o comprimento da face a uma profundidade de x unidades puder ser representado por uma função f ( x ) , contínua e positiva no intervalo [ a ,   b ] , então a força causada pela pressão líquida na face é:

F = ρ g ∫ a b x f x d x   N

Devemos primeiro achar uma função f ( x ) que descreva o comprimento da face da comporta em função da profundidade x da água, para podermos calcular F usando a fórmula.

Passo 2

Conseguimos achar o comprimento em função da profundidade por semelhança de triângulos, como mostra a figura.

Temos então, por semelhança de triângulos:

4 3 = f x 18 - x ⇒ f x = 4 3 ( 18 - x )

Passo 3

Aplicando então a fórmula, com f x = 4 3 ( 18 - x ) e x ∈ 15 ,   18     m:

F = ρ g ∫ 15 18 x ⋅ 4 3 ( 18 - x ) d x = 4 3 ρ g ∫ 15 18 18 x - x 2 d x

= 4 3 ρ g 18 ⋅ x 2 2 - x 3 3 15 18

= 4 3 ρ g 9 ⋅ 18 2 - 18 3 3 - 9 ⋅ 15 2 - 15 3 3 = 4 3 ρ g 2916 - 1944 - 2025 + 1125 =

= 4 3 ρ g ⋅ 72 = 96 ρ g

Para ρ = 1000   k g / m 3 e g = 9,81   m / s 2 :

F = 941760   N

Resposta

F = 941760   N

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