54. Encontre lim x → π 4 ⁡ t g x - 1 x - π 4 .

Passo 1

Galera, assim... se a gente for tentar resolver do jeito convencional, com certeza não vai dar bom não. Perceba que não vai ter como “sumir” com aquele x - π 4 e o denominador vai continuar se anulando.

Então, que tal a gente começar fazendo uma substituição para sumir com aquele denominador e facilitar a nossa vida, hein?!

Vamos denotar

t = x - π 4

Assim, fazendo t = x - π 4 , temos que t → 0 quando x → π 4 . Além disso,

x = t + π 4

Passo 2

Agora, vamos substituir as informações obtidas no nosso limite.

lim t → 0 ⁡ t g ( t + π 4 ) - 1 t

O que a gente vai nesse exato momento é abrir aquela tangente ali em cima usando a fórmula da tangente da soma de dois arcos. Com isso, teremos

t g t + π 4 = t g ( t ) + t g ( π 4 ) 1 - t g t t g ( π 4 )

t g t + 1 1 - t g ( t )

Vamos substituir no nosso limite:

lim t → 0 ⁡ t g t + 1 1 - t g ( t ) - 1 t

Arrumando o nosso numerador.....

lim t → 0 ⁡ t g t + 1 - 1 + t g ( t ) 1 - t g ( t ) t

lim t → 0 ⁡ 2 t g t 1 - t g ( t ) t

Passo 3

Vamos abrir aquela tangente de cima em s e n t cos ⁡ t pra gente poder usar o Teorema que diz que lim t → 0 ⁡ s e n t t = 1 .

lim t → 0 ⁡ 2 s e n t cos ⁡ t 1 - t g ( t ) t

l i m t → 0 2 s e n t cos ⁡ t 1 - t g t t

l i m t → 0 2 s e n t t l i m t → 0 1 cos ⁡ t 1 - t g t

2 l i m t → 0 s e n t t l i m t → 0 1 cos ⁡ t 1 - t g t

2 1 cos ⁡ 0 1 - t g 0 = 2 1 1.1 = 2

Resposta

2

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