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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.1 - Ex. 49

49. Uma cunha é cortada e um sólido com a forma e um cilindro circular reto, o qual tem um raio de r cm, por um plano através de um diâmetro da base e inclinado em relação ao plano da base segundo um ângulo cuja medida é 45°. Ache o volume da cunha.

Passo 1

Não entendeu nadinha? Senta aí que você vai ver que não é tão difícil assim.

Ilustrando o que a questão pediu:

Em amarelo foi é um corte no sólido,sendo que está fatia tem a forma de um triângulo isósceles,como mostrado na imagem a direita.

Fazendo um corte nessa cunha, obteremos um triangulo isósceles com área igual a

A x = b a s e   x   a l t u r a 2    

A base é igual a y e a altura também será y por se tratar de um triângulo com dois lados iguais.

A = y ⋅ ( y ) 2

A = y 2 2

Passo 2

Iremos reescrever y em função de x, para isso usaremos Pitágoras:

y 2 + x 2 = r 2

y =   r 2 - x 2

Então, A ( x ) poderá ser reescrito como

A x = ( r 2 - x 2 ) 2

Passo 3

A integral ficará assim:

V = ∫ a b A ( x )   d x

V = 1 2 ∫ - r r r 2 - x 2   d x

Ou usando a simetria,

V = 2 2 ∫ 0 r r 2 - x 2   d x

= r 2 x - x 3 3 | 0 r

= r 2 r - r 3 3 - 0

= 2 r 3 3

Resposta

2 r 3 3

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