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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 6.2 - Ex. 14

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos

y = 1 x ,   y = 0 , x = 1 ,   x = 3 ;           e m   t o r n o   d e   y = - 1

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos encontrar o volume do sólido gerado ao rotacionar a função apresentada em torno do eixo especificado. Para isso, utilizaremos o conceito de Volume de Sólidos de revolução e as técnicas de integração para calcular o valor desse volume. Após encontrar o volume, iremos esboçar graficamente o sólido e a região.

Passo 2

Utilizando a definição de volume de sólido de revolução, podemos escrever a seguinte integral

V = ∫ 1 3 π 1 x - - 1 2 - 0 - - 1 2 d x

Resolvendo a integral, temos

V = ∫ 1 3 π 1 x 2 + 2 x d x = π - 1 x + 2 ln ⁡ x 1 3 = π - 1 3 + 1 + 2 ln ⁡ 3 - 2 ln ⁡ 1 = 2 π ln ⁡ 3 + 1 3

Passo 3

Podemos esboçar graficamente a região e o sólido da seguinte maneira

Resposta

V = 2 π ln ⁡ 3 + 1 3

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57- Considere a região delimitada pelos gráficos de y = ln ⁡ x , y = 0 e x = e .Determine a área da regiãoDetermine o volume do sólido formado pela rotação dessa região em torno do eixo das abscissas.
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares (x,y), tais que : x 2 ≤ y ≤ x
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares (x,y), tais que : x 2 + ( y - 2 ) 2 ≤ 1
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares (x,y), tais que : 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 e y ≥ 0
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares (x,y), tais que : 1 ≤ x ≤ 3 e 0 ≤ y ≤ x