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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 6.2 - Ex. 9

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.

y 2 = x ,   x = 2 y ;           e m   t o r n o   d o   e i x o   y

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Temos uma região limitada pelas seguintes retas:

y 2 = x ,   x = 2 y

Se a gente rotacionar essa região em torno do eixo y obtemos um sólido. O enunciado pede pra a gente encontrar o volume edsse sólido! Para isso vamos usar a seguinte fórmula:

V = ∫ a b A x d x

Além disso precisamos esboçar a região, o sólido e um disco ou arruela típicos que respresente a secção transversal!

Vamos colocar a mão na massa!

Passo 2

Vamos começar desenhando a região delimitada pelas curvas:

y 2 = x

  x = 2 y

Temos que a área é representada pela figura abaixo:

Observando esse gráfico percebemos que os limites de integração são: a = 0 e b = 4 .

Passo 3

Quando rotacionarmos a área acima temos um volume com secção transversal circular e o seu raio vai ser igual a:

x = y 2

  x = 2 y

Percebe que aqui a gente tem dois “raios”. Um interno e um exerno! Agora vamos esboçar o sólido e a arruela:

Essa é a curva que limita a nossa região! Agora vamos esboçar o sólido e o disco:

Essa região sombreada é o disco que representa a secção transversal da arruela!

Passo 4

Para calcular o volume temos:

V = ∫ a b A y d y

Essa área é dada por:

A y = π r e x t e r n o 2 - π r i n t e r n o 2

A y = π 2 y 2 - π y 2 2

A y = π 4 y 2 - y 2

Substituindo na fórmula do volume:

V = ∫ 0 4 π 4 y 2 - y 2 d y = π 4 3 y 3 - y 5 5 0 2

Aplicando os limites de integração:

V = π 32 3 - 32 5

V = 64 π 15

Prontinho!

Resposta

V = 64 π 15

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