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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 6.2 - Ex. 10

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos

y = x 2 / 3 ,   x = 1 ,   y = 0 ;           e m   t o r n o   d o   e i x o   y

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Bom galera, nessa questão queremos encontrar o volume do sólido gerado ao rotacionar a função apresentada em torno do eixo especificado.

Para isso, utilizaremos o conceito de Volume de Sólidos de revolução e as técnicas de integração para calcular o valor desse volume.

V = ∫ a b π y 1 2 - y 2 2 d y   o u   d x

Após encontrar o volume, iremos esboçar graficamente o sólido e a região.

Veja só!

Passo 2

Utilizando a definição de volume de sólido de revolução, podemos escrever a seguinte integral sabendo que

x 1 = 1 ,     x 2 = y 3 2

E y variando entre 0 e 1 ...

V = ∫ 0 1 π 1 2 - y 3 2 2 d y

V = ∫ 0 1 π 1 - y 3 d y

Resolvendo a integral, temos

V = ∫ 0 1 π 1 - y 3 d y

V = π y - y 4 4 0 1

Aplicando os limites de integração...

V = π 1 - 1 4

V = 3 4 π

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Podemos esboçar graficamente a região e o sólido da seguinte maneira

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

V = 3 4 π

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