50. A equação dá a massa em gramas do potássio radioativo 42 que irá restar de uma quantidade inicial após horas de decaimento redioativo.

1. Quantas gramas havia inicialmente?
2. Quantos gramas permanecem depois de 4 hras?
3. Quanto tempo irá levar para reduzir pela metade a quantidade inicial de potássio radioativo 42?

Na letra (a), ele quer saber quantas gramas havia inicialmente, quando ele diz isso, quer dizer que ele quer saber a quantidade no tempo inicial, ou seja, o primeiro tempo onde começa medição dado por , substituindo esse valor na função, chegamos em:

Como todo numero elevado ao expoente zero, resulta em 1, temos que , logo:

Portanto, a quantidade inicial de potássio que havia era de 12 gramas.

Iradoso, agora na letra (b), já queremos saber quantas gramas permanecem após 4 horas, isto é, queremos :

Show de bolinhas então, aqui na letra (c), queremos saber quanto tempo irá levar para reduzir pela metade a quantidade inicial de potássio. A quantidade inical a gente descobriu no Passo 1, temos 12 gramas inicialmente, logo metade disso equivale a 6 gramas. Nossa equação fica:

Belezoca, queremos encontrar o tempo que satisfaz essa igualdade, como estamos falando do exponencial natural, a função inversa dela é o logaritmo natural, . Vamos aplicar ele dos dois lados dessa igualde então, assim ó:

Logo:

Outra malandragem que a gente pode fazer aqui é, que:

E a malicia nisso é que o expoente do logaritmando sempre desce multiplicando, desse jeito ó:

Dito isso, a gente pode reescrever nossa igualdade como:

Portanto depois de , a quantidade de gramas de potássio será metade da inicial, 6 gramas. Podemos conferir o resultado fazendo :