Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 0.5 - Ex. 57
57. Na escala Richter, a magnitude M de um terremoto está relacionada com a energia liberada E, em joules(J), pela equação
- Encontre a energia do terremoto de San Francisco de 1906, que registrou M=8,2 na escala Richter
- Se a energia liberada de um terremoto for 10 vezes a de outro, quanto maior será sua magnitude na escala Richter?
Passo 1
Belezinha galera, na letra (a), ele diz pra gente que a magnitude do terremoto de San Francisco foi de . A fórmula que temos é:
Portanto substituindo o valor, chegamos em:
Aplicando a função inversa do logaritmo de base 10, temos que:
Podemos dar só mais uma arrumadinha naquele expoente fazendo a seguinte troca:
E como , temos que a energia liberada no terremoto é da escala de .
Passo 2
Show de bolinhas, agora queremos descobrir o quão grande é a magnitude de um terremoto em relação a outro, se esse terromoto possuir uma energia 10 vezes maior que a do outro. Isso quer dizer que temos como a energia do primeiro terremoto, e como a energia do segundo terremoto tal que:
E dada e as magnitudes dos respectivos terremotos, queremos encontrar:
Passo 3
Dessa forma, através da relação da Escala Richter, temos também que:
E como , podemos substituir desse jeito:
Podemos agora aplicar a propriedade da soma entre logaritmos para substituir por
E ficamos assim:
E como a gente é malandro, vamos fazer a segunda equação, menos a primeira, então temos que:
E como e , temos:
Portanto a magnitude do terremoto será 2/3 maior que a do outro na escala Richter.
Resposta
- A magnitude do terremoto será 2/3 maior que a do outro na escala Richter.