57. Na escala Richter, a magnitude M de um terremoto está relacionada com a energia liberada E, em joules(J), pela equação

log ⁡ E = 4,4 + 1,5 M

  1. Encontre a energia E do terremoto de San Francisco de 1906, que registrou M=8,2 na escala Richter
  2. Se a energia liberada de um terremoto for 10 vezes a de outro, quanto maior será sua magnitude na escala Richter?

Passo 1

Belezinha galera, na letra (a), ele diz pra gente que a magnitude do terremoto de San Francisco foi de M = 8,2 . A fórmula que temos é:

log ⁡ E = 4,4 + 1,5 M

Portanto substituindo o valor, chegamos em:

log ⁡ E = 4,4 + 1,5 ( 8,2 )

log ⁡ E = 16,7

Aplicando a função inversa do logaritmo de base 10, temos que:

E = 10 16,7  

Podemos dar só mais uma arrumadinha naquele expoente fazendo a seguinte troca:

10 16,7 = 10 16 + 0,7 = 10 16 × 10 0,7

E como 10 0,7 ≈ 5 , temos que a energia liberada no terremoto é da escala de E ≈ 5 × 10 16 .

Passo 2

Show de bolinhas, agora queremos descobrir o quão grande é a magnitude de um terremoto em relação a outro, se esse terromoto possuir uma energia 10 vezes maior que a do outro. Isso quer dizer que temos E 1 como a energia do primeiro terremoto, e E 2 como a energia do segundo terremoto tal que:

E 2 = 10 E 1

E dada M 1 e M 2 as magnitudes dos respectivos terremotos, queremos encontrar:

∆ M = M 2 - M 1

Passo 3

Dessa forma, através da relação da Escala Richter, temos também que:

log ⁡ E 1 = 4,4 + 1,5 M 1

log ⁡ E 2 = 4,4 + 1,5 M 2

E como E 2 = 10 E 1 , podemos substituir desse jeito:

log ⁡ E 1 = 4,4 + 1,5 M 1 log ⁡ 10 E 1 = 4,4 + 1,5 M 2

Podemos agora aplicar a propriedade da soma entre logaritmos para substituir log ⁡ 10 E 1 por log ⁡ 10 + log ⁡ E 1

E ficamos assim:

log ⁡ E 1 = 4,4 + 1,5 M 1 log ⁡ 10 + log ⁡ E 1 = 4,4 + 1,5 M 2

E como a gente é malandro, vamos fazer a segunda equação, menos a primeira, então temos que:

log ⁡ 10 = 1,5 M 2 - 1,5 M 1

log ⁡ 10 = 1,5 M 2 - M 1

E como log ⁡ 10 = 1 e 1,5 = 3 2 , temos:

1 = 3 2 M 2 - M 1

M 2 - M 1 = 2 3

∆ M = 2 3

Portanto a magnitude do terremoto será 2/3 maior que a do outro na escala Richter.

Resposta

  1. E ≈ 5 × 10 16
  2. A magnitude do terremoto será 2/3 maior que a do outro na escala Richter.
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