a) Se $ 500 são emprestados a 14% de juros, calcule as quantidades devidas no final de dois anos se os juros forem compostos (i) anualmente, (ii) trimestralmente, (iii) mensalmente, (iv) diariamente, (v) por hora e (vi) continuamente.

b) Suponha que $ 500 sejam emprestados e os juros sejam compostos continuamente. Se A(t) for a quantidade devida depois de t anos, onde 0 ≤ t ≤ 2 , plote A(t) para cada uma das taxas de juros 14% , 10% e 6% na mesma tela.

Passo 1

Esse é um problema sobre juros compostos. A expressão genérica que vamos usar é

A = A 0   1 + r n n t ,

onde A 0 = 500 é o valor inicial, r = 0,14 é a taxa de juros, t = 2 é o tempo em anos e n é o número de vezes que a taxa é aplicada ao longo de um ano!

Assim, nossa equação, em função de n fica:

A = 500 ⋅ 1 + 0,14 n 2 n

Passo 2

Se a taxa é aplicada anualmente (i), n = 1 :

A = 649,80

Já para a taxa trimestral (ii), n = 4 :

A = 658,40

Para rendimento mensal (iii), temos n = 12 :

A = 660,49

Para rendimento diário (iv), usamos n = 365 :

A = 661,53

E para rendimento por hora (v), temos n = 365 ⋅ 24 :

A = 661,56

Tomando o limite contínuo (vi):

A t = A 0 e r t = 500 ⋅ e 2   ⋅   0,14 = 661,56

Note que o rendimento por hora é praticamente igual ao rendimento contínuo pois o número de parcelas é muito grande!

Passo 3

No item (b) devemos considerar rendimento contínuo para três taxas diferentes:

r = 14 % ⇒ A t = 500   e 0,14 t

r = 1 0 % ⇒ A t = 500   e 0,1 0 t

r = 6 % ⇒ A t = 500   e 0 , 06 t

A seguir plotamos as três curvas:

Quanto maior a taxa, maior o crescimento!

Resposta

i           $   649,80

i i           $   6 58 , 4 0

i i i           $   6 60 , 4 0

i v           $   6 61 , 53

v           $   6 61 , 56

v i           $   6 61,56

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