Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 27-a
27. Considere o problema de valor inicial
(a) Determine o comportamento da solução em função do valor inicial y0 quando t aumenta.(b) Suponha que y0 = 0,5. Encontre o instante T no qual a solução atinge, pela primeira vez, o valor 3,98.
Passo 1
Temos aqui o iniciozinho de equações diferenciais, e para resolver essa equação vamos precisar usar um método poderoso de resolução de equações. O método de Separação de Variáveis. O próprio nome já dá spoiler de como funciona. Vamos separar as variáveis, tudo que for x fica de um lado, tudo que for y fica do outro.
Passo 2
No caso de
Podemos fazer o seguinte
Antes de integrar nos dois lados, vamos precisar fazer um truque antes no termo da esquerda, afinal não temos uma primitiva obvia para
Então vamos separar essa fração em outras mais fáceis.
Beleza, agora podemos integrar
Passo 3
Não podemos esquecer da nossa constante arbitraria, ela é muito importante!!!!Podemos ajeitar um pouquinho essa equação usando as propriedades de log
Agora vamos isolar o y
Passo 4
Vamos achar o valor de C agora, usando os dados de contorno
Podemos usar uma equação mais simples para achar C
Prontinho, conseguimos achar C!!!! Dessa forma nossa função fica
Passo 5
Vamos descobrir o que acontece com essa equação conforme t fica grandão
Ficou uma equação enorme, podemos resumir ela a algo mais claro, por exemplo o termo
Afinal quando t for muito grande os outros termos não importarão. 😉Então nossa analise fica
Conforme t cresce a expressão se aproxima de zero, logo no infinito podemos esse termo, assim :
Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução
: )