Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.6 - Ex. 59
59. Uma função é a razão de duas funções quadráticas e possui uma assíntota vertical e somente um intercepto com o eixo das abscissas em . Sabe-se que possui uma descontinuidade removível em e . Calcule
a)
b)
Passo 1
E aí! tudo certinho? 😁
Nesse problema foi dada algumas características de uma função e nosso objetivo é obter e com base nessas características.
Tem ideia de como fazer isso? 👀
Como nossa função é a razão de duas funções quadráticas, vamos expressá-la da seguinte maneira:
Mas podemos juntos esse numa variável só. Logo,
Sabemos que nossa função possui assíntota vertical em e quando uma função possui assíntota vertical isso quer dizer que ela vai para infinito. No caso de uma função racional, isso acontece quando o denominador vai para zero.
Além disso ela cruza o eixo das abcissas apenas em , isso é, essa função vai pra zero em . No caso de uma função racional, isso ocorre quando o numerador vai pra zero.
Por fim, sabemos que é um ponto de descontinuidade removível. Isso quer dizer que esse ponto zera tanto o numerador quanto o denominador, e nós conseguimos corta-lo anulando o termo do numerador com o do denominador.
Opa, as coisas estão começando a fazer sentido hein.
Veja só! 😉
Passo 2
Para analisar as assíntotas verticais, vamos olhar o caso em que ou . Na nossa função, isso ocorre quando o denominador é . Assim,
Como zera a expressão acima:
Isso é verdade se
ou
Vamos considerar que . Então,
Tranquilo até aqui? 😊
Passo 3
O enunciado nos disse que é um ponto de descontinuidade removível, isto é, ele faz zerar tanto o denominador quanto o numerador.
Para zerar é necessário termos um termo que é:
Afinal, isso aí zera quando :
Ou seja, temos esse termo no numerador e no denominador.
Assim, podemos simplificar e remove-lo. Sacou?!
Então a função fica o seguinte:
Passo 4
O enunciado também nos disse o seguinte: “ possui somente um intercepto com o eixo das abscissas em ”. Logo,
Ou seja, há um termo no numerador que zera quando , logo temos algo que é:
Afinal, esse termo zera quando , dessa forma, descobrimos então que:
Sendo assim, a função fica:
Recapitulando:
apareceu no numerador que por que é uma raíz dessa função. apareceu no denominador e no numerador por que é uma descontinuidade removível. apareceu no denominador, pois é uma assíntota vertical.
Agora, só falta descobrir o .
Passo 5
Sabemos pelo enunciado que:
Logo,
Para resolver o limite, vamos tirar a indeterminação, cortando
Substituindo o valor do limite, temos:
Portanto,
Dessa forma, teremos por fim:
E nossa fica então:
Passo 6
E finalmente com obtido, vamos obter
E o limite de quando
Aqui, podemos colocar o de maior potência em evidência:
Quando tende a infinito, dividir por tende a zero, logo:
Sendo assim ficamos com:
E podemos por fim cortar os de cima com os de baixo:
E fim! O que achou? Responde Aí! 😎
