Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 2.6 - Ex. 41
Encontre as assíntotas horizontal e vertical de cada curva. Confira seu trabalho por meio de um gráfico da curva e das estimativas das assíntotas.
Passo 1
Opa, bora lá! Temos que achar as assíntotas da curva:
Então vamos relembrar o que são assíntotas! Assíntotas são retas pra qual a curva vai se aproximando mas nunca chega.
As assíntotas horizontais são retas horizontais que a função vai se se aproximando quando tende ao infinito positivo ou negativo. Temos uma assíntota horizontal, quando os limites abaixo são FINITOS:
As assíntotas verticais são retas verticais, onde geralmente a função não tá definida. Costumam ser pontos de descontinuidade, que não fazem parte do domínio e onde a função explode pro infinito. Pra achar elas, vamos procurar esses pontos mal comportados.
Passo 2
Começaremos com a assíntota horizontal.
Se acharmos um número real, a assíntota será esse número. Caso dê infinito não teremos assíntota horizontal. Vamos para o cálculo!
Vamos ter que simplificar essa função pra sumir com a indeterminação. Geralmente quando temos potências grandes de , colocamos essa potência em evidência, porque assim, a gente consegue zerar alguns termos. Vamos colocar o em evidência no numerador.
Lembrando que quando um valor sai da raiz, ele fica em módulo. E isso vai fazer diferença aqui porque queremos um limite pra positivo e outro pra negativo.
No caso de , temos apenas valores positivos, então .
Voltando para a expressão:
Por linearidade, nossa expressão fica assim
E como esse termo vai zerar, temos que
Então, temos assíntota horizontal para positivo e é a reta
Passo 3
Agora para . O começo é igual, então vamos partir dessa etapa aqui:
No caso de , temos apenas valores negativos, então .
Voltando para a expressão:
Por linearidade:
E como esse termo vai zerar, temos que
Então, temos assíntota horizontal para negativo e é a reta
Passo 4
Ufa, agora as assíntotas verticais. Lembra como fazemos?
Os candidatos a assíntotas verticais são os pontos em que a função não está definida.
Nesse caso, para vermos se há algum ponto que não existe, temos que anular o denominador ou torna-lo negativo, já que a raiz tem índice par.
Não existe valor de na inequação acima.
O domínio da função são os reais, logo não há pontos em que ela não está definida, então não temos assíntotas verticais apenas as horizontais.
Resposta
Assíntotas horizontais:
Não tem assíntotas verticais.