Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 76
O que acontece se você tentar usar a Regra de l’Hôspital para encontrar o limite? Calcule o limite usando outro método.
Passo 1
Fala aí, tudo belezinha?
Bom, essa questão dá o seguinte limite:
E pede pra gente dizer o que acontece se a gente tentar usar a regra de L’Hôspital para calcular esse limite.
Então vamos lembrar que regra é essa:
A Regra de L'Hôpital é um teorema que ajuda a gente a calcular limites de formas indeterminadas.
A regra diz que, nesses casos, o limite da fração é igual ao limite da derivada do numerador dividida pelo limite da derivada do denominador, supondo funções deriváveis no intervalo de interesse.
Assim, se
Ou se
Podemos fazer:
Depois de tentarmos usar essa regra teremos que usar outro método para calcular o limite.
Vem comigo que te mostro tudinho no passo a passo.
Passo 2
Se calcularmos diretamente o limite podemos verificar se há a existência de uma indeterminação. E veja que:
Temos a indeterminação da forma , vamos então aplicar a Regra de L'Hôspital.
Passo 3
Lembrando que, como:
Podemos fazer:
Aplicando a regra em nossa função, devemos derivar as funções que estão no numerador e no denominador.
E nosso limite se transforma em:
Que pode ser escrito como:
E calculando novamente esse limite, teremos:
E se aplicarmos novamente a regra de L’Hôspital, teremos:
Novamente.
Observe que aplicações repetidas da Regra de L’Hôspital resultam no limite original ou em um limite recíproco da função. Ou seja, estamos andando em círculos e é por isso que não será vantajoso usarmos a regra de L’Hôspital
Passo 4
Um outro método para se resolver este limite é tentar reescrever nosso limite em outra forma algébrica. Assim, podemos lembrar que:
E dividindo as frações, repetimos a primeira e multiplicamos pelo inverso da segunda. Assim:
Assim, nosso limite se torna:
Passo 5
Observe que expandindo as funções trigonométricas saímos da indeterminação e agora podemos aplicar o limite. Portanto:
E prontinho. Limite calculado.