51. Quando um gás está em expansão ou com pressão adiabática (sem ganho ou perda de calor), então a taxa de variação da pressão em relação ao volume varia diretamente com a pressão e inversamente com o volume. Se a pressão for p N/m2 quando o volume for v m3, e a pressão e o volume iniciais forem respectivamente p_0 N/m2 e v0 m3, mostre que p^k = p0 * v0^k.

Passo 1

Temos as pressões e volumes, vamos achar um k para relacionar o produto pressão com volume. É tranquilo, vai por mim.

Passo 2

A questão fala de “taxa de variação da pressão em relação ao volume” que é d p d v .

E como varia diretamente com p e inversamente com v , podemos escrever assim:

d p d v = k p v ( k é uma constante)

Passo 3

Deixando volume com d v e pressão com

d p p = k d v v

d p Passando todo mundo pro mesmo lado da igualdade...

d p p - k d v v = 0

Integrando esses termos, temos:

ln ⁡ p + k l n v = C ( C é um valor qualquer)

Das propriedade do l n , jogamos o k pro expoente de v e a soma de l n de p e v   é o mesmo que l n do produto entre eles, assim ó:

ln ⁡ p + l n v k = l n ⁡ ( p v k )

Então:

l n ⁡ ( p v k ) = C

Tirando o l n (colocando e elevado aos dois termos):

p v k = C (continua constante do lado direito)

Passo 4

Temos os valores iniciais para p e v , que são   p 0 e v 0 , que são constante!

Então podemos escrever C assim:

C = p 0 v 0 k ( C continua sendo constante, elevamos a k também pra ficar igual ao lado esquerdo da equação de p v )

Substituindo...

p v k = p 0 v 0 k

Prontinho

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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