5-10 Encontre a área sob a curva y = f(x) acima do intervalo dado.

7 . f(x) = 3 * raiz(x) ; [1, 4]

Passo 1

A área de uma região, que é delimitada por uma função e por intervalo, é dado por uma integral.

A área da região dessa questão é dada por:

A = ∫ 1 4 3 x d x

Vou apenas ajeitar essa expressão da área:

A = ∫ 1 4 3 x d x = 3 ∫ 1 4 x d x = 3 ∫ 1 4 x 1 2 d x

Passo 2

Vamos antes de fazer a integral definida, calcular a integral indefinida:

∫ x 1 2 d x = 1 1 2 + 1 x 1 2 + 1 + C = 1 3 2 x 3 2 + C = 2 3 x 3 2 + C

Passo 3

Agora vamos calcular a integral definida, pegando a anti derivada 2 3 x 3 2 .

∫ 1 4 x 1 2 d x =   2 3 x 3 2 4 1 = 2 3 ( 4 ) 3 2 - 2 3 1 3 2 = 2 3 8 - 2 3 1 = 16 3 - 2 3 = 14 3

Então a área da região é:

Não se esqueça do 3 , que colocamos na frente hein:

A = 3 14 3 = 14

Resposta

A = 14

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