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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 111

Suponha que F ( x ) seja uma primitiva de f x = s e n x x , com x > 0 . Expresse ∫ 1 3 s e n 2 x x   d x   em termos de F.

Passo 1

Olhe bem para nossa integral, percebeu que temos quase a mesma função que F   é primitiva?

A única exigência da questão é que x > 0 , então vamos tentar tornar a cara da função que estamos integrando igual a que F é primitiva, beleza?

Para isso, vamos fazer a seguinte substituição. Chame 2 x = u   ⇒ d u = 2   d x   e 2 x = u ⇒ x = u 2  

Vamos alterar nossos limites de integração, certo?

x = 1   ⇒ u = 2     e   x = 3   ⇒ u = 6

Então nossa integral fica

∫ 1 3 s e n 2 x x   d x   =   ∫ 2 6 s e n u u 2 1 2 d u =   ∫ 2 6 2 s e n u u 1 2 d u =   ∫ 2 6 s e n u u d u    

Como   u   é positivo,já que ele é um múltiplo de x e x > 0 . Então,

∫ 2 6 s e n u u d u   = F u 2 6

Resposta

∫ 1 3 s e n 2 x x   d x =   F u 2 6

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