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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.6 - Ex. 38

  1. Use a regra da cadeia para mostrar que, para uma partícula em movimento retilíneo, a = v d v d s .
  2. Seja s = 3 t + 7 ,   t ≥ 0 . Encontre uma fórmula para v em termos de s e use a equação de (a) para determinar a aceleração quando s = 5 .

Passo 1

  1. Vamos lá, para uma partícula em movimento retilíneo temos que a velocidade e aceleração são dadas pelas fórmulas:

    2. v t = d s t d t

    a t = d v t d t

    E podemos fazer com que a t seja reescrito da forma:

    a t = d v t d t = d v t d s t ⋅ d s t d t = d v t d s t ⋅ v t = d v d s v

    Pronto, mostramos pela regra da cadeia que a = v d v d s .

    Passo 2

  2. Para encontre uma fórmula para v temos que derivar s , vamos lá então:

v = d s d t = d d t 3 t + 7 = 1 2 3 t + 7 1 2 - 1 3 + 0 = 1 2 3 t + 7 - 1 2 3 = 3 2 3 t + 7

E temos que s = 3 t + 7 , vamos então substituir em v :

v = 3 2 3 t + 7 = 3 2 s

Agora vamos usar a equação de (a) para determinar a aceleração quando s = 5 :

a t = d v d s v = d d s 3 2 s ⋅ 3 2 s = d d s 3 s - 1 2 ⋅ 3 2 s = 3 2 ⋅ - 1 ⋅ s - 1 - 1 ⋅ 3 2 s = - 9 s - 2 4 s = - 9 4 s 3

Pronto, vamos substituir o valor s = 5 :

a t = - 9 4 ⋅ 5 3 = - 9 4 ⋅ 125 = - 0,018

Resposta

  1. -
  2. a t = 0,018
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