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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 114 a

Demonstre que se f for ímpar, int_(- a)^a f (x) d x = 0

Passo 1

Olhando assim, não tenho muita ideia do que fazer. Mas, pensando bem... Pensando no que já estudamos, vamos usar substituição. Primeiro, vamos dividir as integrais,

int_(- a)^a f (x) d x = int_(- a)^0 f (x) d x + int_0^a f (x) d x

Agora, chame u = - x ⟹ d u = - d x .

Vamos mudar os intervalos de integração.

x = - a ⟹ u = a e x = 0 ⟹ u = 0

Substituindo apenas na primeira integral,

int_(- a)^a f (x) d x = int_(- a)^0 f (x) d x + int_0^a f (x) d x = int_a^0 f (- u) (- d u) + int_0^a f (x) d x

Como f é impar,

int_a^0 f (- u) (- d u) + int_0^a f (x) d x = int_a^0 - f (u) (- d u) + int_0^a f (x) d x = int_a^0 f (u) d u + int_0^a f (x) d x = - int_0^a f (u) d u + int_0^a f (x) d x = - int_0^a f (x) d x + int_0^a f (x) d x = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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