Demonstre que se f for ímpar, ∫ - a a f x d x = 0

Passo 1

Olhando assim, não tenho muita ideia do que fazer. Mas, pensando bem... Pensando no que já estudamos, vamos usar substituição. Primeiro, vamos dividir as integrais,

∫ - a a f x d x =   ∫ - a 0 f x d x +   ∫ 0 a f x d x

Agora, chame u = - x ⟹ d u =   - d x     .

Vamos mudar os intervalos de integração.

x = - a   ⟹ u = a   e   x = 0 ⟹ u = 0

Substituindo apenas na primeira integral,

∫ - a a f x d x =   ∫ - a 0 f x d x +   ∫ 0 a f x d x =     ∫ a 0 f - u - d u + ∫ 0 a f x d x

Como f é impar,

∫ a 0 f - u - d u + ∫ 0 a f x d x =   ∫ a 0 -   f u - d u + ∫ 0 a f x d x =   ∫ a 0   f u   d u +   ∫ 0 a f x d x = -   ∫ 0 a f u d u + ∫ 0 a f x d x =   - ∫ 0 a f x d x +   ∫ 0 a f x d x = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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