Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 51
Expresse o número como uma razão de inteiros.
Passo 1
E aí, galera! Tudo na paz?
Essa questão quer que a gente represente uma dízima como uma fração com numerador e denominador inteiros. E eu vou te ensinar a usar séries pra fazer isso!
Uma dízima pode ser reescrita como uma série, bem assim:
Aqui vale ressaltar que a proporção em que o denominador aumenta depende da quantidade de algarismos do período, tudo bem?
Vamos olhar os termos dessa soma, será que dá para notarmos algum padrão? Podemos notar que cada termo da soma é o anterior multiplicado por . Lembra como chamávamos séries que variavam dessa forma? Isso mesmo, séries geométricas, cujo formato era algo nesse modelo:
Onde é o primeiro termo e a razão na qual os termos variam. E a soma de uam série geométrica é dada por:
Agora vamos encontrar e pra nossa série.
Passo 2
Escrevendo a série geométrica que representa o número em questão teremos:
E se a gente comparar com a forma geral da série geométrica:
Vemos que nosso primeiro termo é e a razão é .
Agora é só aplicar isso na fórmula da soma que vimos no passo 1:
Substituindo, teremos:
Que é a razão de inteiros que procurávamos!