Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 63
Encontre os valores de para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de .
63.
Passo 1
Fala, galera.
Olha só, o enunciado diz que devemos encontrar os valores de para a série convergir, e depois calcularmos a soma dela.
Primeiro passo é ver essa série com outros olhos. Então se reescrevermos essa série de outra maneira, teremos o seguinte:
Epaaa! Esse formato é característico de uma série geométrica!!!
Caso não se lembre, ela tem esse formato aqui:
No nosso caso, temos que (valor encontrado quando substituímos na série dada) e , uma vez que é o primeiro termo da sequência e é a relação comum, ou seja, a razão.
Passo 2
Vamos relembrar:
Se , a série é divergente.
Se , então a série é convergente.
Beleza, agora que já temos informações suficientes vamos fazer a análise de .
Como queremos os valores de para os quais a série converge, então teremos:
Retirando o módulo e, portanto, assumindo as consequências referentes ao sinal, teremos:
No entanto, para quaisquer valores de , sejam estes positivos ou negativos, nunca resultará em um valor negativo! Sendo assim, uma alteração totalmente válida nesse intervalo para mantê-lo real é:
E esse intervalo representa os valores de para os quais a série é convergente!
Também podemos aplicar o logaritmo natural e descobriremos que:
Passo 3
Por fim, faremos a soma através fórmula da série geométrica: