Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 57
Encontre os valores de para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de .
57.
Passo 1
Fala, minha galera, beleza?
A questão quer duas coisas: achar o valor de para a série convergir e depois calcular a soma dela.
Colocando em evidência poderemos escrever a série em questão da seguinte forma:
Esse formato é característico de uma série geométrica, não é mesmo? Caso não se lembre, ela tem esse formato aqui:
No nosso caso temos que e , uma vez que é o primeiro termo da sequência e é a relação comum.
Passo 2
Vamos relembrar que:
Se , a série é divergente.
Se , a série é convergente.
Tudo bem, agora que já temos informações suficientes vamos fazer a análise de .
Como queremos os valores de para os quais a série converge, então teremos:
Retirando o módulo e, portanto, assumindo as consequências referentes ao sinal, teremos:
E esse intervalo representa os valores de para os quais a série é convergente!
Passo 3
Por fim, a soma que a questão pede será definida por esta fórmula:
Substituindo os valores: