Encontre os valores de x   para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de x .

57.

∑ n = 1 ∞ - 5 n x n

Passo 1

Fala, minha galera, beleza?

A questão quer duas coisas: achar o valor de x para a série convergir e depois calcular a soma dela.

Colocando n em evidência poderemos escrever a série em questão da seguinte forma:

∑ n = 1 ∞ - 5 n x n = ∑ n = 1 ∞ - 5 x n

Esse formato é característico de uma série geométrica, não é mesmo? Caso não se lembre, ela tem esse formato aqui:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1

No nosso caso temos que  a = - 5 x e r =   - 5 x , uma vez que  a  é o primeiro termo da sequência e  r  é a relação comum.

Passo 2

Vamos relembrar que:

Se r ≥ 1 , a série é divergente.

Se r < 1 , a série é convergente.

Tudo bem, agora que já temos informações suficientes vamos fazer a análise de x .

Como queremos os valores de x para os quais a série converge, então teremos:

r < 1

- 5 x < 1

- x < 1 5

Retirando o módulo e, portanto, assumindo as consequências referentes ao sinal, teremos:

- 1 5 < x < 1 5

E esse intervalo representa os valores de x para os quais a série é convergente!

Passo 3

Por fim, a soma que a questão pede será definida por esta fórmula:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a 1 - r

Substituindo os valores:

∑ n = 1 ∞ - 5 n x n = - 5 x 1 - - 5 x

∑ n = 1 ∞ - 5 n x n = - 5 x 1 + 5 x

Resposta

- 1 5 < x < 1 5

∑ n = 1 ∞ - 5 n x n = - 5 x 1 + 5 x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados