Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.3 - Ex. 33
33- Estime com precisão de .
Passo 1
E aí, pessoal! Tranquilidade por aí?
Aqui vamos precisar aplicar o teste da integral para resolvermos nossa questão:
Suponha que f seja uma função contínua, positiva e decrescente em e seja . Então a série é convergente se, e somente se, a integral imprópria for convergente, ou seja, se o limite da integral imprópria existe. Em outras palavras:
(i) Se for convergente, então é convergente.
(ii) Se for divergente, então é divergente.
Caso não se lembre, quando temos uma integral imprópria, que é o nosso caso, para resolvermos temos que aplicar o seguinte limite:
Também usaremos a desigualdade 3 do livro na resolução:
Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro vamos analisar se essa função cumpre os requisitos para aplicação do Teste da Integral.
Vemos que é uma função contínua, pois não há restrições para os valores de que ela pode assumir e positiva, pois no intervalo , só temos positivos e a função não mudará esse sinal.
Só falta vermos se a função é decrescente. Pela derivada da sequência conseguimos ver:
Que a função é decrescente em , pelo sinal negativo mesmo da primeira derivada, o que caracteriza uma função decrescente. Logo podemos estimar o resultado dessa série pela sua integral.
Passo 3
Por isso vamos utilizar o exemplo na página 126 como base para resolver esse exercício. Só que nesse exercício não sabemos o número de , somente o erro.
No Exemplo 06, foi explicado que o erro não pode ser menor do que metade do comprimento do intervalo. Mas qual intervalo? Esse intervalo daqui:
Lembre-se que o erro é, justamente, . Assim, precisamos calcular o comprimento do intervalo. Esse comprimento será:
Usando a propriedade , temos que:
Usando a propriedade , temos que:
Passo 4
Agora, sabemos que:
onde é o erro máximo dado no enunciado. Segue que devemos resolver a inequação:
Ou seja,
Essa inequação é bastante trabalhosa de se resolver no braço! Dessa forma, vamos usar uma calculadora para resolver. Existem várias ferramentas. Uma interessante (gratuita e on-line) é o Wolfram Alpha. Colocando o input:
1/sqrt(n) - 1/sqrt(n+1) > 0.01
Encontramos que . Como deve ser um número inteiro, segue .
Passo 5
Novamente, do Exemplo 06, sabemos que podemos aproximar o valor da soma como sendo o ponto médio do nosso intervalo. O ponto médio de um intervalo é, simplesmente, o valor de . Segue que:
Usando , temos:
Segue que:
Tudo que precisamos, agora é calcular o valor de .
Passo 6
Como:
Usando , teremos:
Novamente, é uma conta chata de se fazer na mão (e até mesmo numa calculadora comum). Vamos usar o Wolfram Alpha novamente:
sum (i=1 to 14) i^(-3/2)
Obteremos como resposta:
Dessa forma, temos que:
Assim, com erro menor do que 0,01, teremos: