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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 58

57-63. Encontre os valores de x   para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de x .

58. ∑ n = 1 ∞ x + 2 n

Passo 1

Então pessoal, esse formato é característico de uma série geométrica, não é mesmo? Caso não se lembre, ela tem esse formato aqui:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1

No nosso caso temos que a = ( x + 2 ) e r = ( x + 2 ) , uma vez que a é o primeiro termo da sequência e r é a relação comum. Se r ≥ 1 , a série é divergente. Caso contrário, se r < 1 , então a série é convergente e sua soma é:

a 1 - r

Tudo bem, agora que já temos informações suficientes vamos fazer a análise de x !

Passo 2

Como queremos os valores de x para os quais a série converge, então teremos:

r < 1

x + 2 < 1

Retirando o módulo e, portanto, assumindo as consequências referentes ao sinal, teremos:

- 1 < x + 2 < 1

- 3 < x < - 1

E esse intervalo representa os valores de x para os quais a série é convergente! Por fim, a soma será:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a 1 - r

∑ n = 1 ∞ x + 2 n = x + 2 1 - ( x + 2 ) = x + 2 - x - 1

Resposta

- 3 < x < - 1

∑ n = 1 ∞ x + 2 n = x + 2 - x - 1

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