Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 54
51-60 Dê um gráfico de polinômio e identifique as coordenadas dos cortes com os eixos, dos pontos estacionários e dos pontos de inflexão. Confira as respostas com um recurso gráfico.
54-
Passo 1
Galera, vamos começar derivando a função:
Agora, vamos derivar novamente:
Passo 2
Igualando a primeira derivada a zero, temos:
Para :
Para :
e são nossos pontos estacionários.
O próximo passo é saber se , ou . Isso que vai determinar qual tipo de extremos relativo nós encontramos.
Passo 3
Para :
Isso quer dizer que o ponto é o nosso máximo.
Para :
Isso quer dizer que o ponto é o nosso mínimo.
Vamos ver se temos algum ponto de inflexão... Para isso nós temos que fazer um estudo de sinais com a função . Então vamos lá!
Agora, vamos ver como a função se comporta antes e depois do . Para isso vamos testar um valor de e outro valor de . Ok ???
Para :
Para :
Como tem sinais diferentes antes e depois do , para , temos um ponto de inflexão.
Para
O ponto
Passo 4
Por último, temos que ver os cortes com os eixos.
- Eixo :
Agora, podemos usar Briot Ruffini para acharmos as outras raízes:
Assim,
Não existe que satisfaça essa equação.
O corte com eixo é no ponto:
- Eixo :
O corte com eixo é o ponto:
Assim, nós temos o seguinte gráfico:
Resposta
(máximo) e (mínimo) são nossos pontos estacionários.
é ponto de inflexão.
Cortes nos eixos: