Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 58
51-60 Dê um gráfico de polinômio e identifique as coordenadas dos cortes com os eixos, dos pontos estacionários e dos pontos de inflexão. Confira as respostas com um recurso gráfico.
58-
Passo 1
Galera, vamos começar derivando a função:
Agora, vamos derivar novamente:
Passo 2
Igualando a primeira derivada a zero, temos:
E
Para :
Para :
e são nossos pontos estacionários.
O próximo passo é saber se , ou . Isso que vai determinar qual tipo de extremos relativo nós encontramos.
Passo 3
Para :
Como temos que usar o teste da primeira derivada. Para isso, temos que fazer o estudo de sinal de Vamos testar dois pontos, um direita do 0 e o outro a esquerda e ver como essa função se comporta.
Para :
Para :
Como a função não muda de sinal, nós não temos um extremo nesse ponto.
Para :
Isso quer dizer que o ponto é o nosso máximo.
Vamos ver se temos algum ponto de inflexão... Para isso nós temos que fazer um estudo de sinais com a função . Então vamos lá!
E
Agora, vamos ver como a função se comporta antes e depois do e do .Para isso vamos fazer um quadro de sinais:
Como tem sinais diferentes antes e depois do , para , temos um ponto de inflexão.
O ponto é um ponto de inflexão.
Como também tem sinais diferentes antes e depois do , para , temos um ponto de inflexão.
Para
O ponto é um ponto de inflexão.
Passo 4
Por último, temos que ver os cortes com os eixos.
- Eixo :
E
Os cortes com o eixo são nos pontos:
- Eixo :
O corte com eixo é no ponto:
Assim, nós temos o seguinte gráfico:
Resposta
(nenhum dos dois) e (máximo) são nossos pontos estacionários.
são pontos de inflexão.
Cortes nos eixos: