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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 7

Calcule as integrais usando a substituição indicada.

a ∫ x 2 1 + x   d x ; u = 1 + x

b ∫ csc ⁡ ( sin ⁡ x ) 2 cos ⁡ x   d x ; u = sin ⁡ x

Passo 1

Bom galera, vamos olhar as substituições primeiro:

u = 1 + x

d u = 1   d x

A outra substituição é:

u = sin ⁡ x

d u = cos ⁡ x   d x

Passo 2

Belezinha, substituindo, nossas integrais ficam:

∫ x 2 1 + x   d x → ∫ u - 1 2 u   d u

→ ∫ u 2 - 2 u + 1 ⋅ u 1 2     d u → ∫ u 5 2 - 2 u 3 2 + u 1 2 d u

= 2 u 7 2 7 - 4 u 5 2 5 + 2 u 3 2 3 + C

A outra fica:

∫ csc ⁡ ( sin ⁡ x ) 2 cos ⁡ x   d x → ∫ csc 2 ⁡ ( u )   d u

= - cot ⁡ ( u ) + C

Passo 3

Por fim a gente volta para a variável original:

2 u 7 2 7 - 4 u 5 2 5 + 2 u 3 2 3 + C = 2 ( x + 1 ) 7 2 7 - 4 ( x + 1 ) 5 2 5 + 2 ( x + 1 ) 3 2 3 + C

- cot ⁡ ( u ) + C = - cot ⁡ sin ⁡ x + C

Resposta

a 2 ( x + 1 ) 7 2 7 - 4 ( x + 1 ) 5 2 5 + 2 ( x + 1 ) 3 2 3 + C

( b ) = - cot ⁡ sin ⁡ x + C

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j) ∫ sec 5 ⁡ ( x ) d x
b) ∫ t g 3 x sec 4 ⁡ x d x
h) ∫ sec 5 ⁡ ( 3 x ) t g ( 3 x ) d x
i) ∫ t g 6 x d x
c) ∫ t g 3 2 x sec ⁡ 2 x d x