g) ∫ c o s s e c n x d x = - c o s s e c n - 2 x ⋅ c o t g x n - 1 + n - 2 n - 1 ⋅ ∫ c o s s e c n - 2 x d x ,     n ≥ 2

Passo 1

Essa questão é bem complicadinha, mas vou explicar direitinho pra você entender!

Vamos olhar para nossa integral,

I = ∫ c o s s e c n x d x

Para conseguir sair do lugar, vamos ter que manipular com o termo c o s s e c n x .

c o s s e c n x = c o s s e c n - 2 x ⋅ c o s s e c 2 ( x )

Logo,

I = ∫ c o s s e c n - 2 x ⋅ c o s s e c 2 ( x ) d x

A ideia de deixar o termo, c o s s e c 2 x é para depois podermos usar a seguinte identidade trigonométrica,

1 + c o t g 2 x = cos sec 2 ⁡ ( x )

beleza?! Vamos lá!

Passo 2

A sacada aqui será fazer uma integral por partes!

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Olhando para nossa integral, vamos fazer o seguinte:

u = c o s s e c n - 2 x

d v = c o s s e c 2 x d x

Agora precisamos achar d u e v .

d u = n - 2 ⋅ c o s s e c n - 3 x ⋅ - c o s s e c x ⋅ c o t g x d x

Juntando as coisas:

d u = - n - 2 ⋅ c o s s e c n - 2 x ⋅ c o t g x d x

Agora pro v :

d v = c o s s e c 2 x d x

Logo,

v = ∫ c o s s e c 2 x d x = - c o t g ( x ) + c

(eu sei que não é muito comum saber, mas essa é uma integral direta, ok!)

v = - c o t g ( x ) + c

Passo 3

Agora vamos finalizar!

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Substituindo:

I = ( c o s s e c n - 2 x ) ⋅ ( - c o t g ( x ) ) - ∫ ( - c o t g ( x ) ) n - 2 ⋅ ( - c o s s e c n - 2 x ⋅ c o t g x ) d x

Fazendo as operações, temos:

I = - c o s s e c n - 2 x ⋅ c o t g ( x ) - n - 2 ⋅ ∫ c o s s e c n - 2 x ⋅ c o t g 2 ( x ) d x

Pelo enunciado, o termo nesse integral é apenas c o s s e c n - 2 x . Então vamos fazer o seguinte:

I 1 = ∫ c o s s e c n - 2 x ⋅ c o t g 2 ( x ) d x

Da trigonometria, temos:

1 + c o t g 2 x = cos sec 2 ⁡ ( x ) → c o t g 2 x = c o s s e c 2 x - 1  

Logo,

I 1 = ∫ c o s s e c n - 2 x ⋅ c o s s e c 2 x - 1   d x = ∫ c o s s e c n x d x - ∫ c o s s e c n - 2 x d x

Voltando, as coisas ficam assim:

I = - c o s s e c n - 2 x ⋅ c o t g ( x ) - n - 2 ⋅ ∫ c o s s e c n x d x - ∫ c o s s e c n - 2 x d x

Mas, I = ∫ c o s s e c n x d x

Agora acaba!

I = - c o s s e c n - 2 x ⋅ c o t g ( x ) - n - 2 ⋅ ( I - ∫ c o s s e c n - 2 x d x )

Isto é:

I + n - 2 ⋅ I = - c o s s e c n - 2 x ) ⋅ c o t g ( x ) + ( n - 2 ) ⋅ ∫ c o s s e c n - 2 x d x  

I = - c o s s e c n - 2 x ⋅ c o t g x n - 1 - n - 2 n - 1 ⋅ ∫ c o s s e c n - 2 x d x

Logo, a expressão é verdadeira!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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