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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.10 - Ex. 2g

g) int c o s s e c^n (x) d x = - (c o s s e c^(n - 2) (x) * c o t g (x))/(n - 1) + (n - 2)/(n - 1) * int c o s s e c^(n - 2) (x) d x , n >= 2

Passo 1

Essa questão é bem complicadinha, mas vou explicar direitinho pra você entender!

Vamos olhar para nossa integral,

I = int c o s s e c^n (x) d x

Para conseguir sair do lugar, vamos ter que manipular com o termo c o s s e c^n (x) .

c o s s e c^n (x) = c o s s e c^(n - 2) (x) * c o s s e c^2 ( x )

Logo,

I = int c o s s e c^(n - 2) (x) * c o s s e c^2 ( x ) d x

A ideia de deixar o termo, c o s s e c^2 (x) é para depois podermos usar a seguinte identidade trigonométrica,

1 + c o t g^2 (x) = cos sec^2 ( x )

beleza?! Vamos lá!

Passo 2

A sacada aqui será fazer uma integral por partes!

int u d v = u v - int v d u

Olhando para nossa integral, vamos fazer o seguinte:

u = c o s s e c^(n - 2) (x)

d v = c o s s e c^2 (x) d x

Agora precisamos achar d u e v .

d u = (n - 2) * c o s s e c^(n - 3) (x) * (- c o s s e c (x) * c o t g (x)) d x

Juntando as coisas:

d u = - (n - 2) * c o s s e c^(n - 2) (x) * c o t g (x) d x

Agora pro v :

d v = c o s s e c^2 (x) d x

Logo,

v = int c o s s e c^2 (x) d x = - c o t g ( x ) + c

(eu sei que não é muito comum saber, mas essa é uma integral direta, ok!)

v = - c o t g ( x ) + c

Passo 3

Agora vamos finalizar!

int u d v = u v - int v d u

Substituindo:

I = ( c o s s e c^(n - 2) (x) ) * ( - c o t g ( x ) ) - int ( - c o t g ( x ) ) (n - 2) * ( - c o s s e c^(n - 2) (x) * c o t g (x) ) d x

Fazendo as operações, temos:

I = - c o s s e c^(n - 2) (x) * c o t g ( x ) - (n - 2) * int c o s s e c^(n - 2) (x) * c o t g^2 ( x ) d x

Pelo enunciado, o termo nesse integral é apenas c o s s e c^(n - 2) (x) . Então vamos fazer o seguinte:

I_1 = int c o s s e c^(n - 2) (x) * c o t g^2 ( x ) d x

Da trigonometria, temos:

1 + c o t g^2 (x) = cos sec^2 ( x ) -> c o t g^2 (x) = c o s s e c^2 (x) - 1

Logo,

I_1 = int c o s s e c^(n - 2) (x) * (c o s s e c^2 (x) - 1) d x = int c o s s e c^n (x) d x - int c o s s e c^(n - 2) (x) d x

Voltando, as coisas ficam assim:

I = - c o s s e c^(n - 2) (x) * c o t g ( x ) - (n - 2) * (int c o s s e c^n (x) d x - int c o s s e c^(n - 2) (x) d x)

Mas, I = int c o s s e c^n (x) d x

Agora acaba!

I = - c o s s e c^(n - 2) (x) * c o t g ( x ) - (n - 2) * ( I - int c o s s e c^(n - 2) (x) d x )

Isto é:

I + (n - 2) * I = - c o s s e c^(n - 2) (x) ) * c o t g ( x ) + ( n - 2 ) * int c o s s e c^(n - 2) (x) d x

I = - (c o s s e c^(n - 2) (x) * c o t g (x))/(n - 1) - (n - 2)/(n - 1) * int c o s s e c^(n - 2) (x) d x

Logo, a expressão é verdadeira!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule as integrais usando uma substituição apropriada. ∫ sin ⁡ 7 xd x
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Calcule as integrais usando a substituição indicada. a ∫ d x x ln ⁡ xd x ; u = ln ⁡ x b ∫ e - 5 xd x ; u = - 5 x
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