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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.7 - Ex. 38

Nos exercícios de 33 a 44, calcule a integral definida.

38. ∫ 0 π 2 d x 3 + c o s 2 x

Passo 1

Neste tipo de questão não há muito o que tirar de informação do enunciado, apenas utilizar as técnicas de integração desenvolvidas até o momento, utilizar também algumas substituições especiais vistas ao longo desta seção bem como relações matemáticas básicas.

Passo 2

Sendo assim, a integral dada pode ser calculada como:

∫ 0 π 2 d x 3 + c o s 2 x

Fazendo a substituição z = t g 1 2 x   , podemos escrever a integral dada como:

∫ 0 π 2 d x 3 + c o s 2 x = ∫ 0 1 2 d z 1 + z 2 2 1 + 1 - z 2 1 + z 2 2

Note que os limites de integração foram alterados substituindos os limites de integração da integral da esquerda na expressão de z em função de x definida para resolução do problema. Continuando a resolução da integral temos:

∫ 0 1 2 d z 1 + z 2 2 1 + 1 - z 2 1 + z 2 2 = ∫ 0 1 1 + z 2 d z 1 + z 2 2 + 1 - z 2 2 = 1 2 ∫ 0 1 1 + z 2 1 + z 4 d z

Completando quadrado no denominador teremos:

1 2 ∫ 0 1 1 + z 2 1 + z 4 d z = 1 2 ∫ 0 1 1 + z 2 1 + 2 z 2 + z 4 - 2 z 2 d z = 1 2 ∫ 0 1 1 + z 2 ( 1 + z 2 - 2 z ) ( 1 + z 2 + 2 z ) d z

= 1 4 ∫ 0 1 1 1 + z 2 - 2 z + 1 1 + z 2 + 2 z d z = 1 4 ∫ 0 1 1 z 2 - 2 z + 1 + 1 z 2 + 2 z + 1 d z

Passo 3

Note que na última integral acima podemos transformar os denominadores utilizando o conceito de trinômio quadrado perfeito. Assim:

1 4 ∫ 0 1 1 z 2 - 2 z + 1 + 1 z 2 + 2 z + 1 d z = 1 4 ∫ 0 1 1 z - 1 2 2 2 + 1 2 + 1 z + 1 2 2 2 + 1 2 d z  

2 4 tan - 1 ⁡ ( 2 z - 1 ) + tan - 1 ⁡ ( 2 z + 1 ) 0 1 = 2 4 π 8 + 3 π 8 = 2 π 8

Resposta

∫ 0 π 2 d x 3 + c o s 2 x = 2 π 8

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