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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.6 - Ex. 16

Calcule a integral indefinida.

int (x^2)/(3 x^2 - (1)/(2) x - (1)/(2)) d x

Passo 1

Vamos lá, a primeira coisa que a gente pode fazer é tirar a constante (1)/(3) dali de dentro. Vai ficar assim:

(1)/(3) int (x^2)/(x^2 - (1)/(6) x - (1)/(6)) d x

Tá, agora a gente pode dividir esses polinômios pra ficar com uma fração própria.

Quando se divide x^2 por x^2 - (1)/(6) x - (1)/(6) , a gente encontra 1 e resto (1)/(6) x + (1)/(6) , então a gente pode reescrever a integral como:

(1)/(3) int 1 + ((1)/(6) x + (1)/(6))/(x^2 - (1)/(6) x - (1)/(6)) d x

Passo 2

Vamos separar agora em duas integrais:

(1)/(3) [int 1 d x + int ((1)/(6) x + (1)/(6))/(x^2 - (1)/(6) x - (1)/(6))]

A primeira vai dar x então vamos ver a segunda integral que é mais feia... A gente pode fatorar assim:

int ((1)/(6) ( x + 1 ))/((1)/(6) ( 3 x + 1 ) ( 2 x - 1 )) d x

Como as raízes aqui são (1)/(3) e - (1)/(2) , vamos usar frações parciais assim:

(1)/(6) int (A)/(x - (1)/(2)) + (B)/(x + (1)/(3)) d x

Passo 3

Igualando as duas, encontramos A = (9)/(5) e B = - (4)/(5) .

Aí a gente resolve a integral agora como:

(1)/(6) int (9 // 5)/(x - 1 // 2) + (- 4 // 5)/(x + 1 // 3) d x

Aí resolvendo, temos:

(1)/(6) ((9)/(5)) ln (x - (1)/(2)) + (1)/(6) (- (4)/(5)) ln (x + (1)/(3))

(3)/(10) ln (x - (1)/(2)) - (2)/(15) ln (x + (1)/(3))

Isso! Agora é só juntar com a outra que a gente tinha😊

Passo 4

Vai ficar:

(1)/(3) [x + (3)/(10) ln (x - (1)/(2)) - (2)/(15) ln (x + (1)/(3))]

(1)/(3) x + (1)/(10) ln (x - (1)/(2)) - (2)/(45) ln (x + (1)/(3)) + C

Prontinho! Essa é a integral😉

Resposta

(1)/(3) x + (1)/(10) ln (x - (1)/(2)) - (2)/(45) ln (x + (1)/(3)) + C

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