Calcule a integral indefinida.

∫ x 3 d x x 2 + 2 2

Passo 1

Nesse a gente tem um termo quadrático irredutível, e ele se repete. Ou seja, nós usamos fração parcial da forma:

x 3 x 2 + 2 2 = A x + B x 2 + 2 + C x + D x 2 + 2 2

Daqui a gente vai descobrir os valores de A ,   B , C   e   D .

Passo 2

Vamos lá, resolvendo fica assim:

x 3 x 2 + 2 2 = ( A x + B ) ( x 2 + 2 ) x 2 + 2 + C x + D x 2 + 2 2

Agora a gente pode eliminar os denominadores:

x 3 = A x + B x 2 + 2 + C x + D

x 3 = A x 3 + 2 A x + B x 2 + 2 B + C x + D

x 3 = A x 3 + B x 2 + x 2 A + C + D

Aí pra isso ser igual, a gente precisa que:

A = 1

B = 0

2 a + C = 0

D = 0

Ou seja, A = 1 ; B = 0 ; C = - 2 ; D = 0 .

Passo 3

Reescrevendo então a integral, a gente tem:

x 3 x 2 + 2 2 = x x 2 + 2 + 2 x x 2 + 2 2

Isso aí! Agora a gente integra isso:

∫ x x 2 + 2 + 2 x x 2 + 2 2   d x

Vamos resolver separado:

∫ x x 2 + 2 d x + ∫ 2 x x 2 + 2 2 d x

Passo 4

Vamos pra primeira:

∫ x x 2 + 2 d x

Aqui a gente pode fazer a substituição:

u = x 2 + 2     e   d u = 2 x   d x → x   d x = d u 2

Aí vai ficar:

1 2 ∫ d u u = 1 2 ln ⁡ u = 1 2 ln ⁡ x 2 + 2

E na segunda a gente pode fazer a mesma substituição, e vamos ficar com:

∫ d u u 2 = ∫ u - 2 d u = - 1 u =   - 1 x 2 + 2

Juntamos as duas e somamos a constante...

1 2 ln ⁡ x 2 + 2 - 1 x 2 + 2 + C

E... pronto😊

Resposta

1 2 ln ⁡ x 2 + 2 - 1 x 2 + 2 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados