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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.6 - Ex. 20

Calcule a integral indefinida.

int (x^3 d x)/((x^2 + 2)^2)

Passo 1

Nesse a gente tem um termo quadrático irredutível, e ele se repete. Ou seja, nós usamos fração parcial da forma:

(x^3)/((x^2 + 2)^2) = (A x + B)/(x^2 + 2) + (C x + D)/((x^2 + 2)^2)

Daqui a gente vai descobrir os valores de A , B , C e D .

Passo 2

Vamos lá, resolvendo fica assim:

(x^3)/((x^2 + 2)^2) = (( A x + B ) ( x^2 + 2 ))/(x^2 + 2) + (C x + D)/((x^2 + 2)^2)

Agora a gente pode eliminar os denominadores:

x^3 = (A x + B) (x^2 + 2) + C x + D

x^3 = A x^3 + 2 A x + B x^2 + 2 B + C x + D

x^3 = A x^3 + B x^2 + x (2 A + C) + D

Aí pra isso ser igual, a gente precisa que:

A = 1

B = 0

2 a + C = 0

D = 0

Ou seja, A = 1 ; B = 0 ; C = - 2 ; D = 0 .

Passo 3

Reescrevendo então a integral, a gente tem:

(x^3)/((x^2 + 2)^2) = (x)/(x^2 + 2) + (2 x)/((x^2 + 2)^2)

Isso aí! Agora a gente integra isso:

int (x)/(x^2 + 2) + (2 x)/((x^2 + 2)^2) d x

Vamos resolver separado:

int (x)/(x^2 + 2) d x + int (2 x)/((x^2 + 2)^2) d x

Passo 4

Vamos pra primeira:

int (x)/(x^2 + 2) d x

Aqui a gente pode fazer a substituição:

u = x^2 + 2 e d u = 2 x d x -> x d x = (d u)/(2)

Aí vai ficar:

(1)/(2) int (d u)/(u) = (1)/(2) ln u = (1)/(2) ln (x^2 + 2)

E na segunda a gente pode fazer a mesma substituição, e vamos ficar com:

int (d u)/(u^2) = int u^(- 2) d u = - (1)/(u) = - (1)/(x^2 + 2)

Juntamos as duas e somamos a constante...

(1)/(2) ln (x^2 + 2) - (1)/(x^2 + 2) + C

E... pronto😊

Resposta

(1)/(2) ln (x^2 + 2) - (1)/(x^2 + 2) + C

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