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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.6 - Ex. 22

Calcule a integral indefinida.

int (x d x)/((x - 1)^2 (x + 1)^2)

Passo 1

Nessa a gente tem termos lineares que se repetem, então a gente vai fazer frações parciais assim:

(x)/((x - 1)^2 (x + 1)^2) = (A)/(x - 1) + (B)/((x - 1)^2) + (C)/(x - 1) + (D)/((x + 1)^2)

Nosso trabalhinho agora vai ser encontrar esses A , B , C e D .

Vamos lá...

Passo 2

Desenvolvendo aqui, a gente vai ter:

(x)/((x - 1)^2 (x + 1)^2) = (A (x - 1) (x + 1)^2)/(x - 1) + (B (x - 1)^2)/((x - 1)^2) + (C (x + 1) (x - 1)^2)/(x + 1) + (D (x - 1)^2)/((x + 1)^2)

Agora a gente dá tchau pros denominadores...

x = A (x - 1) (x + 1)^2 + B (x - 1)^2 + C (x + 1) (x - 1)^2 + D (x - 1)^2

x = A (x^3 + 2 x^2 + x - x^2 - 2 x - 1) + B (x^2 - 2 x + 1) + C (x^3 + x^2 - 2 x^2 - 2 x + x + 1) + D ( x^2 - 2 x + 1 )

x = x^3 (A + C) + x^2 (A + B - C + D) + x (- A + 2 B - C - 2 D) - A + B + C + D

Tá, pra isso ser igual, a gente precisa que:

{[[A + C = 0],[A + B - C + D = 0],[- A + 2 B - C - 2 D = 1],[- A + B + C + D = 0]])

E aqui a gente encontra A = 0 ; B = (1)/(4) ; C = 0 e D = - (1)/(4) .

Passo 3

Agora a gente vai remontar nossa integral com essas frações parciais...

(0)/(x - 1) + (1)/(4 (x - 1)^2) + (0)/(x - 1) - (1)/(4 (x + 1)^2)

I = int (1)/(4 (x - 1)^2) - (1)/(4 (x + 1)^2) d x

Vamos separar:

I = (1)/(4) int (1)/((x - 1)^2) d x - (1)/(4) int (1)/((x + 1)^2) d x

Integrando as duas agora:

(1)/(4) int (1)/((x - 1)^2) d x = (1)/(4) ((1)/(x - 1))

- (1)/(4) int (1)/((x + 1)^2) d x = - (1)/(4) ((1)/(x + 1))

Aí juntando as duas e somando a constante, a gente chega na resposta:

I = (1)/(4 (x - 1)) - (1)/(4 (x + 1)) + C

Pronto😉

Resposta

I = (1)/(4 (x - 1)) - (1)/(4 (x + 1)) + C

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