Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.7 - Ex. 45
43-46 A equação do movimento é dada por uma partícula, onde está em metros e , em segundos. Encontre (a) a velocidade e a aceleração como funções em t, (b) a aceleração depois de 1 segundo e (c) a aceleração no instante em que a velocidade é 0.
45.
Passo 1
Falaaaaaaai galerinha, bora resolver mais uma juntinho com o RA?
Simbora então
Para a letra (a) vamos iniciar encontrando Velocidade e Aceleração:
Velocidade
A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Para encontrá-la, derivamos a equação da posição em relação ao tempo
Onde é a derivada da equação da posição em relação ao tempo.
Aceleração
A aceleração, por sua vez, é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Então, derivamos a equação da velocidade em relação ao tempo.
Onde é a derivada da equação da velocidade em relação ao tempo.
Derivando a Equação da Posição
Para a equação da posição dada:
Derivada de em relação a
Derivando a Equação da Velocidade :
Derivada de em relação a :
(b) Aceleração Depois de 1 Segundo:
Substitua na equação da aceleração encontrada.
(c) Aceleração Quando a Velocidade é 0:
Encontre os Pontos em que
Resolva a equação da velocidade para encontrar os pontos em que a velocidade é zero. Em outras palavras, encontre quando
Substitua na Equação da Aceleração
Depois de encontrar esses pontos substitua-os na equação da aceleração para obter a aceleração nesses instantes.
Passo 2
(a)
Nós sabemos da física que a derivada do espaço é a velocidade:
E que a derivada da velocidade é a aceleração:
Então para encontrar a velocidade só precisamos derivar a função dada:
Usando a regra da cadeia para derivar o seno e o cosseno:
E para encontrar a aceleração vamos derivar mais uma vez:
Usando a regra da cadeia, da mesmam forma que antes:
Podemos tirar o em evidência:
Prontinho!
Passo 3
(b)
Para achar a aceleração depois de um segundo, não tem segredo, é só aplicar 1 na função da aceleração:
Passo 4
(c)
Para achar a aceleração quando a partícula está parada devemos, primeiro, achar qual é esse instante:
Queremos achar e sabemos que o carro está com uma velocidade igual a 0:
O seno é igual ao cosseno quando o ângulo é de ou então:
Então, o carro fica com uma velocidade 0 quando sua aceleração é:
Resposta