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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.7 - Ex. 15

Encontre as derivadas primeiras e segunda da função.

y = x 3 + 1 2 / 3

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema temos a função

y = x 3 + 1 2 / 3

E nosso objetivo é calcular as derivadas de primeira e segunda ordem de y .

Parece complicado?

Podemos perceber que y é uma função composta por conta daquele expoente 2 / 3 . Então para calcular sua derivada vamos aplicar a regra da cadeia.

A regra da cadeia é definida como

y = f g x ,     y ' = g ' x · f ' g x

Bora começar!

Passo 2

Vamos começar derivando toda a função

y ' = d x 3 + 1 2 3 d x

Vamos aplicar a regra da cadeia considerando a função de dentro como x 3 + 1 e a função de fora como u 2 / 3 .

Na função de fora consideramos a função de dentro como uma variável, por isso a substituímos por u .

y ' = d x 3 + 1 d x · d u 2 3 d u

Pela regra da potencia, temos que

d x 3 + 1 d x = 3 x 2

d u 2 3 d u = 2 3 u - 1 3 = 2 3 u 1 3

Substituindo em y ' , chegamos em

y ' = 3 x 2 · 2 3 u 1 3

y ' = 2 x 2 u 1 3

Voltando u para x 3 + 1 , temos

y ' = 2 x 2 x 3 + 1 1 3

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora com a derivada de primeira ordem em mãos, derivamos o resultado para obter a derivada de segunda ordem

y ' ' = d 2 x 2 x 3 + 1 1 3 d x

Nesse caso temos uma fração de funções, então vamos aplicar a regra do quociente...

y = f x g x ,     y ' = f ' x · g x - f x · g ' x g x 2

Ou seja

y ' ' = d 2 x 2 d x · x 3 + 1 1 3 - 2 x 2 · d x 3 + 1 1 3 d x x 3 + 1 1 3 2

Agora é só aplicar a regra da potencia em 2 x 2 e a regra da cadeia em x 3 + 1 1 3 .

d 2 x 2 d x = 4 x

Na derivada de x 3 + 1 1 3 perceba que derivamos uma função muito parecida no passo 1, a única diferença é que no lugar de 1 / 3 no expoente tínhamos 2 / 3 , ou seja

d x 3 + 1 1 3 d x = x 2 x 3 + 1 2 3

Substituindo em y ' ' , temos

y ' ' = 4 x · x 3 + 1 1 3 - 2 x 2 · x 2 x 3 + 1 2 3 x 3 + 1 1 3 2

Simplificando...

y ' ' = 4 x x 3 + 1 1 3 - 2 x 4 x 3 + 1 2 3 x 3 + 1 2 3

y ' ' = 4 x x 3 + 1 1 3 x 3 + 1 2 3 - 2 x 4 x 3 + 1 2 3 x 3 + 1 2 3

Simplificando x 3 + 1 1 3 x 3 + 1 2 3 temos x 3 + 1 ...

y ' ' = 4 x x 3 + 1 - 2 x 4 x 3 + 1 2 3 x 3 + 1 2 3

y ' ' = 4 x 4 + 4 x - 2 x 4 x 3 + 1 4 3

y ' ' = 2 x 4 + 4 x x 3 + 1 4 3

E fim! O que achou? Responde Aí!

Resposta

y ' = 2 x 2 x 3 + 1 1 3

y ' ' = 2 x 4 + 4 x x 3 + 1 4 3

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