Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.7 - Ex. 29

29-32 Encontre y’’ derivando implicitamente.

29.

Passo 1

Oiee galerinha, bora resolver mais uma comigo??

Nossa tarefa é encontrar a segunda derivada da função implícita usando o método de diferenciação implícita, ou seja, derivando a equação em relação a e tratando como uma função de

Isso nos permite expressar em termos de (primeira derivada de em relação a e (segunda derivada de em relação a ).

Ao lidar com uma equação implícita como ,não temos isolado em termos de , ou seja, não temos escrito explicitamente como Em vez disso, é uma função implícita de nesta equação.

Para lidar com isso, usamos o conceito de diferenciação implícita. Isso envolve diferenciar ambos os lados da equação em relação a tratando como uma função de . A regra da cadeia é frequentemente aplicada para encontrar derivadas de funções implícitas.

Ao diferenciar implicitamente, consideramos como uma função de e aplicamos a regra da cadeia para derivar em relação a . Isso nos permite encontrar , a primeira derivada de em relação a

Em seguida, ao diferenciar novamente, obtemos , a segunda derivada de em relação a .

Esse processo nos permite expressar em termos de e possivelmente .

Passo 2

Quando derivamos implicitamente a gente diz que é uma função de , então ele não pode ser considerado como uma constante, quando derivamos escrevemos ele como:

Aplicando a derivada dos dois lados da equação:

Derivada da soma é a soma das derivadas:

Passo 3

Como é função de precisamos utilizar a regra da cadeia para derivar , ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

Nesse caso a função de fora é o quadrado e a função de dentro é , então podemos escrever a equação como sendo:

Conseguimos encontrar , como queremos vamos precisar derivar mais uma vez

Passo 4

Aplicando a derivada mais uma vez:

Novamente, a derivada da soma é a soma das derivadas:

Para derivar vamos precisar da regra do produto:

Aplicando à nossa equação

Passo 5

Prontinho já temos o na equação, agora só precisamos isolar ele:

Passo 6

A gente pode tirar esse da equação, vamos pegar e expressão que encontramos no Passo 1, isolar e substituir na nossa equação, dessa forma a resposta fica só em termos de e :