Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.7 - Ex. 12
5-20 Encontre as derivadas primeiras e segunda da função.
12.
Passo 1
Fala aí, tudo belezinha com você?
Bom, essa questão pede pra gente encontrar as derivadas de primeira e de segunda ordem da função:
Isso significa que teremos que derivar nossa função a primeira vez, anotar o resultado que encontarmos e derivar esse resultado novamente para obter a derivada de segunda ordem. Sacou?!
E para isso precisaremos observar o tipo de função que temos e decidir qual o melhor método para fazer isso.
Observe que essa é uma função de onde ele está dentro da raiz. Podemos transformar essa raiz em empoente fracionário usando essa regrinha aqui:
Fazendo isso, poderemos usar a regra do expoente para essa derivação, que diz o seguinte:
Isso será feito em cada termo já que a derivada da soma é a soma das derivadas
Além disso, podemos isolar as costantes, já que
Agora que já sabemos o que fazer, vamos nessa!
Passo 2
Começamos reescrevendo nossa função para que as raízes se torne expoentes fracionários
Podemos também inverver o denominador do segundo termo, ficando com:
Agora vamos aplicar a derivada
Fazendo isso em cada termo, teremos:
As letras e são constantes, então:
Agora, basta derivar cada um usando a regra do expoente. Assim
Que pode ser escrito com:
Show!!!
Essa é a primeira derivada
Passo 3
E para achar a derivada segunda é só derivar mais uma vez a função, da mesma maneira que fizemos anteriormente:
Tirando as constantes para fora das derivadas:
As duas derivadas são derivadas de polinômios:
E prontinho. Derivadas devidamente calculadas.