23-24 Encontre y’’’.

24. y = x / (2x - 1)

Passo 1

Precisamos usar a regra da divisão para derivarmos essa função:

u v ' = u ' v - v ' u v 2

Aplicando na nossa equação:

y ' = d d x x ⋅ 2 x - 1 - d d x 2 x - 1 ⋅ x   2 x - 1 2

Essas derivadas que aparecem no numerador são derivadas de polinômios, só precisamos baixar o expoente e diminuir um do expoente:

y ' = 1 ⋅ 2 x - 1 - 2 x   2 x - 1 2

Fazendo as multiplicações e somando os termos iguais:

y ' = - 1   2 x - 1 2

Prontinho, essa é a primeira derivada

Passo 2

Para achar a segunda derivada é só derivar mais uma vez:

y ' ' = d d x - 1   2 x - 1 2

Podemos reescrever a função pra ficar mais fácil de derivar:

y ' ' = - d d x 2 x - 1 - 2

Dessa forma só precisamos usar a regra da cadeia, ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

F x = f g x

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Nesse caso a função de fora é o expoente na - 2 e a função de dentro é 2 x - 1 , então podemos escrever a equação como sendo:

y ' ' = - - 2 2 x - 1 - 2 - 1 ⋅ d d x 2 x - 1

y ' ' = 2 2 x - 1 - 3 ⋅ 2

y ' ' = 4 2 x - 1 - 3

Passo 3

E derivando pela última vez:

y ' ' ' = d d x 4 2 x - 1 - 3

Vamos usar a regra da cadeia mais uma vez:

y ' ' ' = 4 - 3 2 x - 1 - 3 - 1 ⋅ d d x 2 x - 1

Derivando aquele polinômio e fazendo as multiplicações:

y ' ' ' = - 12 2 x - 1 - 4 ⋅ 2

y ' ' ' = - 24 2 x - 1 - 4

Resposta

y ' ' ' = - 24 2 x - 1 - 4

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