43-46 A equação do movimento é dada por uma partícula, onde s está em metros e t , em segundos. Encontre (a) a velocidade e a aceleração como funções em t, (b) a aceleração depois de 1 segundo e (c) a aceleração no instante em que a velocidade é 0.

44. s = 2*t^3 - 3*t^2 - 12*t, t >= 0

Passo 1

Fala aí, galerinha!

Nesse problema foi dada a função posição de uma partícula

s = 2 t 3 - 3 t 2 - 12 t ,     t ≥ 0

E nosso objetivo é obter as funções velocidade e aceleração e a partir dessas funções, queremos obter a aceleração no instante t = 1 s e a aceleração no momento que v = 0 .

Parece complicado?

Para resolver esse problema temos que lembrar de algumas propriedades...

A velocidade é a variação do espaço pelo tempo, correto? Trazendo isso para uma forma infinitesimal temos que

v t = d s d t

E a aceleração é a variação da velocidade pelo tempo, logo

a t = d v d t

Com essas relações, podemos obter as funções e resolver o problema.

Bora lá!

Passo 2

Como vimos no passo 1, temos que

v = d s d t

Então para encontrar a velocidade só precisamos deivar a função s :

v t = d d t 2 t 3 - 3 t 2 - 12 t

Pela regra da potencia...

v t = 2 3 t 2 - 3 2 t - 12

v t = 6 t 2 - 6 t - 12

E que a derivada da velocidade é a aceleração:

a = d v d t

E para encontrar a aceleração vamos derivar mais uma vez:

a t = d d t 6 t 2 - 6 t - 12

Novamente pela regra da potencia...

a t = 6 2 t - 6 - 0

a t = 12 t - 6

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Para achar a aceleração depois de um segundo, não tem segredo, é só aplicar 1 na função da aceleração:

a t = 12 t - 6 → a 1 = 12 1 - 6

a 1 = 6   m / s 2

Para achar a aceleração quando a partícula está parada devemos, primeiro, achar qual é esse instante:

v t = 6 t 2 - 6 t - 12

Queremos achar t e sabemos que o carro está com uma velocidade igual a 0:

0 = 6 t 2 - 6 t - 12

Só resolver a equação do segundo grau:

t 1 = 2   s

t 2 = - 1   s

Como o tempo deve ser positivo, vamos ignorar t 2

Então, o carro fica com uma velocidade 0 quando sua aceleração é:

a 2 = 12 2 - 6

a 2 = 18   m / s 2

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

  1. v t = 6 t 2 - 6 t - 12
  2. a t = 12 t - 6

  3. a 1 = 6   m / s 2
  4. a 2 = 18   m / s 2
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