Enunciado

54. Encontre um polinômio de terceiro grau Q tal que Q(1)=1, Q’(1)=3, Q’’(1)=6 e Q’’’(1)=12.

Passo 1

Oiee pexuaall, bora lá?

A questão nos pede para encontrar um polinômio de terceiro grau Q ( x ) com algumas propriedades específicas.

Começamos assumindo que Q x   é um polinômio de terceiro grau geral:

Q x = a x 3 + b x 2 + c x + d

Onde a ,   b   c   e   d   são os coeficientes desconhecidos que precisamos encontrar.

A questão nos fornece algumas informações sobre Q x   e m   x = 1 e suas derivadas nesse ponto.

Vamos usar essas informações para criar um sistema de equações.

- Q 1 = 1 implica que a + b + c + d = 1

- Q ' 1 = 3 implica que 3 a + 2 b + c = 3

- Q ' ' 1 = 6 implica que 6 a + 2 b = 6

- Q ' ' ' 1 = 12 implica que 6 a = 12

Com as equações formadas, podemos resolver o sistema para encontrar os valores de a ,   b   c   e   d   .

Após encontrar os valores de a ,   b   c   e   d   ,podemos substituí-los no polinômio geral Q x .

Escrevemos o polinômio Q ( x ) com os coeficientes encontrados.

Passo 2

Agora vamos aplicar na pratica e com detalhes o que nos conversamos no primeiro passo, podemos pensar em um polinômio do terceiro grau geral:

Q x = a x 3 + b x 2 + c x + d

O enunciado nos diz quanto vale Q ( 1 ) , então vamos escrever a equação:

Q 1 = a 1 1 + b 1 2 + c 1 + d

1 = a + b + c + d

Agora vamos derivar o polinômio para descobrir o valor de a ,   b ,   c e d :

Q ' x = 3 a x 2 + 2 b x + c

Para x = 1 :

3 = 3 a 1 + 2 b 1 + c

3 a + 2 b + c = 3

Passo 3

Ainda precisamos de mais duas equações, pois temos 4 incognitas, vamos derivar mais uma vez a função:

Q ' ' x = 6 a x + 2 b

Para x = 1 :

6 = 6 a + 2 b

3 a + b = 3

E por fim, vamos derivar mais uma vez essa função e então conseguiremos resolver o sistema de equações que se formou:

Q ' ' ' x = 6 a

Para x = 1 :

12 = 6 a

então

a = 2

Passo 4

E com esse valor encontramos o valor de b :

6 = 6 a + 2 b

6 = 6 2 + 2 b

2 b = 6 - 12

b = - 6 2

b = - 3

Passo 5

Como temos a e b agora podemos escontrar c :

3 a + 2 b + c = 3

3 2 + 2 - 3 + c = 3

6 - 6 + c = 3

c = 3

E por fim, podemos encontrar o valor de d :

a + b + c + d = 1

2 + - 3 + 3 + d = 1

d = - 1

Agora, como temos os valores das incógnitas podemos montar o polinômio:

Q x = a x 3 + b x 2 + c x + d

Q x = 2 x 3 - 3 x 2 + 3 x - 1

Resposta

Q x = 2 x 3 - 3 x 2 + 3 x - 1

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