Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.7 - Ex. 54
54. Encontre um polinômio de terceiro grau Q tal que Q(1)=1, Q’(1)=3, Q’’(1)=6 e Q’’’(1)=12.
Passo 1
Oiee pexuaall, bora lá?
A questão nos pede para encontrar um polinômio de terceiro grau com algumas propriedades específicas.
Começamos assumindo que é um polinômio de terceiro grau geral:
Onde são os coeficientes desconhecidos que precisamos encontrar.
A questão nos fornece algumas informações sobre e suas derivadas nesse ponto.
Vamos usar essas informações para criar um sistema de equações.
- implica que
- implica que
- implica que
- implica que
Com as equações formadas, podemos resolver o sistema para encontrar os valores de .
Após encontrar os valores de ,podemos substituí-los no polinômio geral
Escrevemos o polinômio com os coeficientes encontrados.
Passo 2
Agora vamos aplicar na pratica e com detalhes o que nos conversamos no primeiro passo, podemos pensar em um polinômio do terceiro grau geral:
O enunciado nos diz quanto vale , então vamos escrever a equação:
Agora vamos derivar o polinômio para descobrir o valor de e :
Para
Passo 3
Ainda precisamos de mais duas equações, pois temos 4 incognitas, vamos derivar mais uma vez a função:
Para
E por fim, vamos derivar mais uma vez essa função e então conseguiremos resolver o sistema de equações que se formou:
Para
então
Passo 4
E com esse valor encontramos o valor de :
Passo 5
Como temos e agora podemos escontrar :
E por fim, podemos encontrar o valor de :
Agora, como temos os valores das incógnitas podemos montar o polinômio: