57. Para que os valores de r a função y = e^(rx) satisfaz a equação y'' + 5y' - 6y = 0?

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom a questão deu pra gente a função

y = e r x

E pede pra gente dizer para quais valores de r essa função satisfaz a equação:

y ' ' + 5 y ' - 6 y = 0 ?

A ideia para resolver essa questão, vamos descobrir quanto vale y ' ' e y ' e substituir na equação.

Assim, os valores de r poderão ser calculados.

Vem comigo que te mostro como fazer tudo isso.

Passo 2

Nessa questão a gente precisa achar os valores de r para que a igualdade seja verdadeira, então vamos descobrir quanto vale y ' ' e y ' para substituir na equação.

Começando com y ' , temos

y ' = d d x e r x  

Pela regra da cadeia:

y ' = e r x ⋅ d d x r x

y ' = r e r x

Beleza, agora vamos derivar mais uma vez para descobrirmos o valor de y ' ' :

y ' ' = d d x r e r x

Novamente, utilizando a regra da cadeia:

y ' ' = r e r x ⋅ d d x r x

y ' ' = r 2 e r x

Prontinho. Já temos tudo que precisamos.

Passo 3

Agora, basta substituir na equação do enunciado

Assim

y ' ' + 5 y ' - 6 y = 0

Se torna:

r 2 e r x + 5 r e r x - 6 r 2 e r x   = 0

Isolando e r x :

r 2 + 5 r - 6 e r x = 0

Então para essa igualdade ser verdadeira:

r 2 + 5 r - 6 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau vamos obter que

r 1 = 1

e

r 2 = - 6

E esses são os possíveis valores de r que satisfazem a equação.

Resposta

r 1 = 1

e

r 2 = - 6

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