Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.7 - Ex. 39
Encontre a derivada dada encontrando algumas das primeiras derivadas e observando o padrão que ocorre.
39.
Passo 1
Fala aí! como vai?
Nesse problema queremos encontrar a derivada de ordem da função .
Parece complicado?
Com certeza não vamos derivar derivar vezes para obter o resultado pois isso daria muito trabalho.
O que temos que fazer é encontrar uma relação de recorrência das derivadas de e aí sim poder determinar a derivada de ordem .
Nesse caso, é uma função composta, portanto vamos aplicar a regra da cadeia para calcular a derivada dessa função.
Então vamos começar calculando as derivadas de primeira ordem para encontrar essa relação.
Lembrando que pelo teorema fundamental do calculo, a derivada de e são dadas por
E tambem que
Bora lá!
Passo 2
Como ele diz no enunciado, a gente tem que ir derivando e tentar enxergar um padrão (perceba que precisamos da regra da cadeia):
Segunda derivada:
Terceira derivada:
E a quarta derivada:
Então a cada 4 derivadas a função volta para uma bem parecida com a original, a única diferença é que temos um multiplicando a função.
Como precisamos derivar 103 vezes, vamos ver quantas vezes poderemos fazer 4 derivadas:
Então podemos fazer 25 vezes as 4 derivadas para termos a função parecida com a original:
Então após 100 derivadas a função volta a ser , só que com multiplicando. Agora só precisamos derivar mais três vezes:
Derivada 101:
Derivada 102:
Derivada 103:
É isso! O que achou? Responde Aí!