Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.7 - Ex. 63
(a) Compute algumas das primeiras derivadas da função até ver que os cálculos ficam algebricamente intratáveis
(b) Use a identidade
para computar as derivadas mais facilmente. Então encontre uma expressão para . Esse método de dividir uma fração em termos de frações mais simples, chamado de frações parciais, será visto com mais detalhes na Seção 7.4.
Passo 1
Oiee pessuall bora resolver mais uma comigoo??
Claro! Vamos analisar o enunciado da questão:
Na parte (a) enunciado nos pede para calcular algumas das primeiras derivadas da função até que os cálculos se tornem algebricamente intratáveis.
Isso significa que devemos encontrar as derivadas sucessivas da função e verificar até que ponto as expressões resultantes se tornam tão complexas que não podemos simplificá-las ou manipulá-las facilmente.
Na parte (b), o enunciado sugere usar a identidade de frações parciais para simplificar o cálculo das derivadas de .
A identidade mencionada é:
A ideia é decompor a função em duas frações mais simples usando essa identidade e, em seguida, calcular as derivadas das frações resultantes. Isso pode simplificar significativamente o processo de cálculo das derivadas sucessivas de tornando-o mais eficiente e gerenciável.
Passo 2
- Ele quer que a gente vá derivando aquela função pra percebermos que chega uma hora que fica muito difícil de continuar derivando. Então vamos lá:
Usando a regra da divisão:
E lá vamos nós derivar de novo!
Passo 3
Usando a regra da cadeia:
Já fico muito ruim de calcular:
Vamos fazendo as multiplicações e juntando os mesmo termos:
Agora é só somar:
Vamos parar por aqui, a partir daqui já fica muito complicado continuar a derivada.
Passo 4
(b)
Agora vamos usar a identidade no lugar da expressão original, o que vai fazer com que nossas derivadas fiquem mais simples.
Derivada da soma é a soma das derivadas:
Podemos reescrever as frações como sendo:
Usando a regra da cadeia:
Passo 5
Fazendo a segunda derivada:
E a terceira:
Então cada vez que deriva a única coisa que altera na expressão é que um número maior multiplica os coeficientes e esses também alteram o sinal, então podemos escrever uma expressão geral da forma:
Então esse primeiro termo, , altera o sinal da expressão cada vez que a expressão é derivada. Os estão ali pois cada vez que derivamos a função, multiplicamos os coeficientes por um número maior do que o que foi multiplicado anteriormente, o que cria um fatorial.