Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.7 - Ex. 37
Encontre a fórmula para .
37.
Passo 1
E aí, galerinha!
Nesse problema foi dada a função
E nosso objetivo é descobrir uma fórmula para qualquer derivada de ordem de .
Parece complicado?
Podemos reescrever a função do enunciado como
Dessa forma, para calcular sua derivada podemos aplicar a regra da potência.
Com isso, vamos aplicar a derivada de repetidamente até encontrar uma relação de recorrência para
Veja só!
Passo 2
Como ele quer a n-ésima derivada a gente tem que ir derivando e tentar enxergar um padrão que vai se repetindo:
Calculando a primeira derivada...
Se a gente derivar mais uma vez:
E denovo:
E denovo, denovo
Cada vez que deriva o sinal se altera, além disso, um numero menor é multiplicado, a gente pode escrever isso como um fatorial, porém para transformar em uma fatorial ia faltar o 3 e 2, porém a gente pode colocar eles dividindo que fica certo, então a derivada n-ésima é igual a:
E aí! entendeu tudo? Responde Aí!