59-61 A função g é uma função duas vezes diferenciável. Encontre f’’ em termos de g, g’ e g’’.60. f(x) = g(x) / x

Passo 1

Oiee pessoal, tudo bem?Bora resolver essa juntinhos?

Vamos passar pelo processo passo a passo e explicar as regras envolvidas.

A regra do quociente nos permite encontrar a derivada de uma função que é o quociente de duas funções.

Se f x = g x h x , então

f ' x = g ' x ⋅ h x - g x ⋅ h ' x h x 2

Primeiro, usamos a regra do quociente para encontrar a derivada de f x , que é

g ' x ⋅ x - g x ⋅ 1 x 2

simplificando para

x ⋅ g ' x - g x x 2

Em seguida, usamos a regra do quociente novamente para encontrar a segunda derivada f x .

Isso envolve a diferenciação de f ' ( x ) .

- Para diferenciar x ⋅ g ' ( x ) , usamos a regra do produto, que nos dá x ⋅ g ' ' x + g ' ( x ) .

- Para diferenciar g ( x ) , simplesmente obtemos g ' ( x ) .

Substituindo esses resultados na expressão para f ' ' ( x ) e simplificando, obtemos

g ' ' x + x ⋅ g ' x + g x x 2

Assim, a segunda derivada de f x ,   f ' ' ( x ) , é expressa em termos das derivadas de g x , isto é, g ' x e   g ' ' ( x ) além de g ( x ) em si.

Passo 2

Nessa questão a gente precisa só precisa derivar duas vezes a função :

f ' x = d d x g x x

Aqui é só usar a regra da divisão:

f ' x = d d x g x ⋅ x - d d x x ⋅ g x x 2

f ' x = g ' x ⋅ x - 1 ⋅ g x x 2

Passo 3

Agora é só derivar mais uma vez:

f ' ' x = d d x g ' x ⋅ x - g x x 2

Novamente, usamos a regra da divisão

f ' ' x = d d x g ' x ⋅ x - g x ⋅ x 2 - d d x x 2 ⋅ g ' x ⋅ x - g x x 2 2

A derivada da soma é a soma das derivadas:

f ' ' x = d d x g ' x ⋅ x - d d x g x ⋅ x 2 - 2 x ⋅ g ' x ⋅ x - g x x 4

Passo 4

Podemos cortar um dos x ' s :

f ' ' x = d d x g ' x ⋅ x - g ' x ⋅ x - 2 ⋅ g ' x ⋅ x - g x x 3

Vamos usar a regra do produto:

f ' ' x = d d x g ' x ⋅ x + d d x x ⋅ g ' x - g ' x ⋅ x - 2 x ⋅ g ' x - 2 g x x 3

Passo 5

Fazendo as duas derivadas que faltaram:

f ' ' x = g ' ' x ⋅ x + 1 �� g ' x - g ' x ⋅ x - 2 x ⋅ g ' x - 2 g x x 3

f ' ' x = x ⋅ g ' ' x ⋅ x - 2 x ⋅ g ' x - 2 g x x 3

f ' ' x = x 2 ⋅ g ' ' x - 2 x ⋅ g ' x - 2 g x x 3

Prontinho!

Resposta

f ' ' x = x 2 ⋅ g ' ' x - 2 x ⋅ g ' x - 2 g x x 3

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