26. Se g(x) = raiz(5 - 2x) , encontre g'''(2) .

Passo 1

Para encontrarmos a função y ' ' ' precisamos derivar três vezes a função y .

Para derivarmos 5 - 2 x precisamos utilizar a regra da cadeia, ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

F x = f g x

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Nesse caso a função de fora é a raiz quadrada e a função de dentro é 5 - 2 x , então podemos escrever a equação como sendo:

g ' x = 1 2 5 - 2 x ⋅ d d x 5 - 2 x

g ' x = 1 2 5 - 2 x ⋅ - 2

g ' x = - 1 5 - 2 x

Passo 2

E para achar a derivada segunda é só derivar mais uma vez a função, da mesma maneira que fizemos anteriormente:

g ' ' x = d d x - 1 5 - 2 x

Podemos reescrever a função pra ficar mais fácil de derivar:

g ' ' x = - d d x 5 - 2 x - 1 / 2

E da mesma forma que no passo 1, vamos usar a regra da cadeia:

g ' ' x = - - 1 2 5 - 2 x - 3 / 2 ⋅ d d x 5 - 2 x

g ' ' x = 1 2 5 - 2 x - 3 / 2 ⋅ - 2

g ' ' x = - 5 - 2 x - 3 / 2

Passo 3

E derivando pela ultima vez:

g ' ' ' x = d d x - 5 - 2 x - 3 / 2

Novamente, a regra da cadeia é necessária:

g ' ' ' x = - - 3 2 5 - 2 x - 5 / 2 ⋅ d d x 5 - 2 x

Menos com menos, da mais:

g ' ' ' x = 3 2 5 - 2 x - 5 / 2 ⋅ - 2

g ' ' ' x = - 3 5 - 2 x - 5 / 2

Passo 4

E então é só aplicar no ponto 0:

g ' ' ' 2 = - 3 5 - 2 2 - 5 / 2

g ' ' ' 2 = - 3 5 - 4 - 5 / 2

g ' ' ' 2 = - 3 1 - 5 / 2

Um elevado a qualquer coisa é igual a um:

g ' ' ' 2 = - 3

Prontinho!

Resposta

g ' ' ' 2 = - 3

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